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摘要: 利用无穷远点留数的性质,给出了复变函数中一类周线积分■f(z)dz计算的简单方法。
关键词: 无穷远点;留数;性质
中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1006-4311(2012)04-0196-020引言
留数理论是复变函数论中重要的内容。利用函数无穷远点留数的性质,可以大大地简化一类周线积分■f(z)dz的计算。
1预备知识
定义[1]:设∞为函数f(z)的一个孤立奇点,即f(z)在去心邻域N-{∞}:0?燮r
设f(z)在0?燮r
f(z)=…+■+…■+c■+c■z+…+c■z■+…,由逐项积分定理及■■=2πi,(n=1);0,(n≠1的整数)(一个重要的常用积分)
这里C表示以a为心,ρ为半径的圆周。(注意:积分值与a,ρ均无关,a可为0)。
即知■f(z)=■■f(z)dz+c-1=0(1)
也就是说,■f(z)等于f(z)在点∞的洛朗展式中■这一项的系数反号。
计算留数■f(z)的另一公式。
令t=■
于是φ(t)=f■=f(z),
且z平面上无穷远点的去心邻域N-{∞}:0?燮r
■■f(z)dz=-■■f■·■dz
所以
■f(z)=-R■sf■·■ (2)
定理[1](无穷远点留数的性质):如果函数f(z)在扩充Z平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),设为a1,a2,…,an…,∞,则f(z)在各点的留数和为零(即■■f(z)+■f(z)=0)
2无穷远点留数的应用
例 1.计算积分
I=■■dz
解:被积函数一共有七个奇点:z=±i,z=■■(k=0,1,2,3)以及z=∞。前六个奇点均在|z|=4内部。
要计算|z|=4内部六个奇点的留数和是十分麻烦的,所以应用上述定理及留数定理得
I=2πi-■f(z)。
由下式可知f(z)在∞处的洛朗展式中■这一项的系数C-1
f(z)=■=■
=■1-2·■+…1-3·■+…,
因此,■f(z)■=-1,故I=2πi。
另外,可应用公式(2)。先看
f■■=■·■=■
它以t=0为一阶极点。所以
I=2πi-■f(z)■=2πi■f■·■=2πi
例2.计算积分■■,C为正向圆周:|z|=2。
解:除∞点外,被积函数的奇点是-i,1与4。根据定理
有■f(z)+■f(z)+■f(z)+■f(z)=0
其中f(z)=■
由于-i与1在C之内部,由留数基本定理(2)得到
■■=2πi■f(z)+■f(z)
=-2πi■f(z)+■f(z)
另一方面
■f(z)=■(z-4)■=■
■f(z)=Res■■
=■■=0
从而
■■=-2πi■+0=■
参考文献:
[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2004.
[2]哈尔滨工业大学数学系组编.复变函数与积分变换[M].北京:科学出版社2004.
[3](美)James Ward Brown著,邓冠铁等译.复变函数及应用[M].北京:机械工业出边社,2007.
[4]莫叶.复变函数论(第一册)[M].济南:山东科技出版社,1980.