笛沙格正,逆定理的应用
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【摘 要】本文简略地考虑一些射影性质的定理，即关于共点线，共线点的。我们讨论透视的图形的关系，建立笛沙格定理和它的逆定理及它们的各种应用。
【关键词】笛沙格定理
引言：
笛沙格定理是射影平面上的重要定理。许多定理以它为根据，利用它还可以证明初等几何中一些共点或共线问题。笛沙格定理说明，若两三点形有透视中心，则必有透视轴。反之，若有透视轴则必有透视中心。
定义1 平面上不共线三点及每两点连的直线构成的图形称为三点形。
定义2 平面上不共点的三直线及每两直线的交线构成的图形称为三线性。
笛沙格正定理
若两三点形的对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。
若两三点形中有对应顶点重合，或非对应顶点重合，定理显然成立。下面仅对两三点形的6个顶点都相异的情形作出证明。
设 与 的对应顶点连线 相交于一点 则对应边
与 ， 与 ， 与 的交点 共线。
证：如图1 对 及相应的截线 ， 由梅涅劳斯定理得
三式相乘化简得
对 由梅涅劳斯定理逆定理知 共线。
图1
笛沙格逆定理
若两三点形的三对对应边交点共线，则其对应顶点的连线共点。
设三点形 与 的对应边交点 共线，证明： 交于一点。
证：如图2 考虑三点形 与 ，它们的对应顶点连线 交于 。由笛沙格定理，此两三点形的对应边交点 共线，即两三点形 与 的对应顶点连线交于一点。
图2
笛沙格定理及其逆定理都称为笛沙格定理，我们称图2中两三点形 与 成透视， 叫透视中心，对应边交点所在直线 叫透视轴。这样上面两定理也可以叙述成：
一对对应三点形（三线形）具有透视中心的充要条件是具有透视轴。
笛沙格定理的图形包含10个点，10条直线，其中有些点是容许重合的，它们成为笛沙格定理的特情形。一般情况下，每条直线上有三点，过每点有三条直线，这个图形叫作笛沙格构形。从这个构形中可以形成多对成透视的三点形。可以证明此图形中的10个点中的每一个都可作为某些点构成的三点形的透视中心。例如： 是三点形 与 的透视中心，相应的透视轴是 所在直线。
正逆定理的应用情况
定理1 设 是三角形 所在平面上的两点， 与 交于 ， 与 交于 ， 与 交于 ，则 交于一点 。
设 与 相交于 ，等等，则三角形 同样明显地成透视。而且可以证明 与 成透视，这三个透视中心共线。
定理2 设三个三角形有公共的透视中心，则它们的三条透视轴共点。
设三角形为 则 为共点的直线。我们将三角形的边用与所对顶点相同的小写字母表示。考虑边为 与 的三角形。它们的对应边相交于共线点 ，所以对应顶点的连线共点。但连结 的交点与 的交点的直线，是 与 的透视轴，等等。所以这三条轴共点。
二、正定理的应用
例1 如图3 设点 是不在三点形 三边上的点， 。则三点形 与 关于 成透视。
证：由笛沙格定理，它们的对应边交点 共线。
图3
运用到欧氏几何， 可以是三角形 的重心，垂心或外心等。它有一些有趣的特例：
如果 与 平行，那么另外两队边的交点 的连线也与它们平行，如果 与 平行， 与 平行，则 与 也平行。
例2 证明欧氏平面上三角形的重心，垂心与外心共线，所在直线叫三角形的 线。
证：如图4 设欧氏平面上三角形 的重心，垂心与外心分别是 ； 分别是三边 的中点。三点形 与 的对应边都平行，在拓广平面上它们的交点共线。由笛沙格定理，它们的对应顶点连线 交于一点，即三角形 的重心，垂心与外心共线。
图4
例3 在欧氏平面上， 的高线为 ，另外， 与 交于 ， 与 交于 ， 与 交于 。求证：三点 共线。并将此问题推广。
证：如图5 中三高线 共点 ，以 为透视心，由 和 ，根据笛沙格定理必有透视轴，即对应边 和 交于 ， 与 交于 ， 和 交于 。则三点 共线。
图5
此问题的推广：在 内， 三直线共点（不一定是高线），又 和 交于 ， 和 交于 ， 和 交于 。求证： 共线。
三、逆定理的应用
例1 设 为三条定直线， 为二定点，点 为 上的动点，且直线 分别与 交于点 。求证： 通过 上一个定点。
证：如图6 利用笛沙格定理在 上另取一点 ，按题意作出 。考察三点形 与 ，因为其具有透视中心 ，故其对应边的交点 三点共线，即 共点于 ，换句话说， 过 上的定点 。
图6
例2 设 是完全四点形 的对边三点形， 分别交 于 。求证： 共点。
证：考察三点形 与 ，
而 是共线的，由笛沙格逆定理可知 共点。
图7
例3 设 的顶点 分别在共点的三直线 上移动，且直线 和 分别通过定点 和 ，求证： 也通过 上一个定点。
证：如图8 设 是满足条件的另一个三角形， 和 中，由于对应点连线 共点 ，由笛沙格定理可知对应边交点 共线，即 与 的交点 必在 直线上，则 为定点。
图8
四、正逆定理的共同应用
例 设直线 交 三边 于 ，如果直线 两两相交成一三角形 ，求证： 共点。
证：如图9 利用笛沙格定理及逆定理。选三点形 和 ，因为 ，且 共线 ，所以此两个三点形之对应顶点连线 三线共点。
图9
参考文献：
[1] 近代欧氏几何学 [美] 约翰逊 上海教育出版社
[2] 高等几何 周兴和 科学出版社
[3] 高等几何 周建伟 高等教育出版社