探究一道解三角形高考题

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题目 （2012年高考湖北文科卷第8题）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b=20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为

A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4

一、题目的解析

所以，由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=6∶5∶4.选D.

小结 常规解法紧扣题设条件，依据余弦定理建立方程求出三角形的三边，便知三角形的三边的比，进而依据正弦定理求出sin A∶sin B∶sin C.本题若是一道填空题或解答题，此方法当然是最好的方法，要知道这是一道选择题，无疑是小题大做了，费了不少时间.

由余弦定理计算可知，选项A中的4∶3∶2对应的是钝角三角形，选项C中的5∶4∶3对应的是直角三角形，而选项B中的5∶6∶7不满足a>b>c，所以选D.

小结 如果说方法1要花三分钟解决问题，那么方法2只需半分钟解决问题.作为一道小题（特别是选择题），方法2应该是首选的方法.方法2巧妙地利用三角形的形状，迅速将问题解决.事实上，作为一道选择题，题设条件“三边的长为连续的三个正整数”是一个迷惑性的条件.

对于这道题目，现站在考生的角度作下面的思考与探索.

二、问题的思考与探索

利用方法2，如果对三角形的形状判断不熟练，操作起来一样比较吃力费时.关于三角形的形状的判定方法有哪些呢？

方法1 （利用余弦定理解答）判断三角形的形状，主要依据最大内角的范围来判断，因此可依据余弦定理求出最大内角的余弦值，即可求出最大角的范围，进而判断三角形的形状.

例1 若ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13，则ABC

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

方法2 （利用余弦定理的变式结论解答）设ABC的最大边为a，则有以下结论成立.

结论 设ABC的最大边为a，则

①a2

②a2=b2+c2？圳ABC是直角三角形；

③a2>b2+c2？圳ABC是钝角三角形.

利用余弦定理即可证明结论.结合正弦定理，我们还可得到如下推论.

推论 设ABC的三个内角为A，B，C，且角A为最大角，则

①sin2A

②sin2A=sin2B+sin2C？圳ABC是直角三角形；

③sin2A>sin2B+sin2C？圳ABC是钝角三角形.

例2 在ABC中，角C为最大角，若sin2A+sin2B

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.不能确定

解 由推论可知三角形为钝角三角形，选A.

方法3 （利用三个内角余弦值的平方和与1的关系解答）对于ABC，关于三个内角A，B，C的余弦值的平方和与其形状的关系，有以下结论成立.

结论 设ABC的三个内角为A，B，C，则

①cos2A+cos2B+cos2C

②cos2A+cos2B+cos2C=1？圳ABC是直角三角形；

③cos2A+cos2B+cos2C>1？圳ABC是钝角三角形.

当m=1时，cos Acos Bcos C=0，则三个内角的余弦值有一个等于0，即有一个内角为直角，则ABC为直角三角形.反之，若ABC为直角三角形，则有一个内角为直角，即有一个内角的余弦值等于0，所以cos Acos Bcos C=0，从而m=1.

当m0，则三个内角的余弦值均大于0，即三个内角均为锐角，则ABC为锐角三角形.反之，若ABC为锐角三角形，则三个内角均为锐角，三个内角的余弦值均大于0，所以cos Acos Bcos C >0，从而m

当m>1时，cos Acos Bcos C< 0，则三个内角的余弦值有一个小于0，即有一个内角为钝角，则ABC为钝角三角形.反之，若ABC为钝角三角形，则有一个内角为钝角，有一个内角的余弦值小于0，所以cos Acos Bcos C< 0，从而m>1.

综合上述分析可知：

①cos2A+cos2B+cos2C

②cos2A+cos2B+cos2C=1？圳ABC是直角三角形；

③cos2A+cos2B+cos2C>1？圳ABC是钝角三角形.

注意到sin2x+cos2x=1，易知上述结论也有一个相应的推论.

推论 设ABC的三个内角为A，B，C，则

①sin2A+sin2B+sin2C>2？圳ABC是锐角三角形；

②sin2A+sin2B+sin2C=2？圳ABC是直角三角形；

③sin2A+sin2B+sin2C

（责任编周峰）