向量在数学中的应用

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摘 要：向量及其应用是课程改革新增的内容，用向量的观点研究教材知识结构，运用向量问题的意识已经成为一种趋势。本文通过叙述向量问题的平面几何，立体几何，解析几何和代数问题的广泛运用，来说明向量在中学数学中的重要地位。

关键词：向量；数形结合；平面几何；立体几何；解析几何；代数

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002—7661（2012）20—226—01

向量作为数学的一种工具，在中学数学中的作用，越来越被人们重视。不仅在解题中，向量法有着独特的魅力，而且在命题中，向量可以与函数，解析几何。立体几何，复数等知识结合来命题，能够更全面地考察学生的能力。特别是向量与解析几何，两者都是代数形式和几何形式的统一体，有着异曲同工之妙，向量即能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已经逐渐成为高考命题的一个新的亮点。向量具有几何和代数双重身份，通过向量对传统问题的分析，可以帮助我们更好地建立代数与几何的关系，使用向量更加快捷直观的解决一些不同的数学问题。

一、向量在平面几何中的作用

由于向量的线性运算和数量积具有鲜明的几何背景，平面图形的许多性质，如平移，全等，相似，长度，夹角等都可以有向量的线性运算及数量积来表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。

向量作为一种数学工具，在解三角形中，不仅能很快推导出三角形的正弦、余弦定理，而且在判定三角形的形状、点与三角形的位置关系等方面都有十分重要的作用。

1、掌握向量与三角函数综合题目的解题思路与方法；

2、体会向量作为工具来解决与三角函数有关的问题。

二、向量在立体几何中的应用

空间向量是平面向量的推广，是对空间几何提出了一种代数化研究思想，即把空间图形的性质代数化，运用代数的运算推理来研究几何，用向量解答立体几何问题，只需通过规范的运算即可解决，为立体几何求解开辟了一条新的途径。

解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。

1、证平行、证垂直 利用共线向量定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，共面向量基本定理先证直线方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。

2、求角、求距离 求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。

3、求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值 空间向量在立体几何中的应用体现了数形结合的思想，培养了学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力。目的是将空间元素的位置关系转化为数量关系，将形式逻辑证明转化为数值计算，用数的规范性代替形的直观性、可操作性强，解决问题的方法具有普遍性，大大降低了立体几何对空间想象能力要求的难度。

三、向量在解析几何中的应用

解析几何与向量是高中数学新课程中两个重要的分支学科，数形结合是这两个学科的重要特点。由于向量既能体现“形”的直观的位置特征，又能具有良好运算性质。

通过对向量的和差运算与线段中点及平行四边形的结合，向量的数乘运算与定比分点及与平行共线的结合，向量的数量积与垂直的结合，向量的数量积与两直线夹角的结合，向量的数量积与夹角的结合的讨论，得到用向量方法解决解析几何问题，可以是复杂问题简洁化，从而优化解题过程。有利于了解向量既能反映现实世界的数量关系，又能体现几何图形的位置关系，具有数形结合和几何形式的“双重性”能将数和形有机结合起来，解决数学几何问题。

1、运用向量共线的充要条件解决有关平行、共线等问题

此类问题经常出现在选择题与填空题中，顺利解决这类问题必须充分理解平面向量的相关概念，并熟练掌握向量的坐标运算，共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa（a≠0）。

2、运用向量的数量积处理有关长度、角度、垂直、取值范围等问题 运用向量的数量积，可把有关的长度、角度、垂直等几何关系转化为数量关系，从而“计算”出所求结果。

四、向量在代数中的应用

1、等式证明 证明等式一般说来都要进行繁杂的运算，如果等式具有向量代数某些特征时，应用向量知识较为简单。

2、不等式证明 证明不等式主要依据有关向量的不等式

3、求解无理函数的最值 求无理函数最值问题，按常规方法求解有一定难度，若能用向量知识解答将会变得容易多。

总之，向量作为现代数学的重要基础进入高中数学知识体系后，不仅立即成为支撑数学学科的知识体系的重要知识，也是学习和解决许多重要的数学问题的强有力的工具。在学习中，要准确地理解向量的概念，熟练掌握向量的运动性质，加强向量和其他数学知识的联系和整合。仔细体会用向量知识解决数学问题的方法，切实把向量知识有机地纳入到自己的数学知识体系中，这样，才能提高解决数学问题的能力。

参考文献

[1] 张中谊 平面向量与解析几何交汇的主要题型《数理化学习（高中版）》，2010.5