推理与证明考查热点

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立体几何，综合性较强.证明分为直接证明与间接证明，其中数学归纳法是数学加试部分的内容，主要解决与正整数有关的命题的证明.推理与证明问题对学生的知识与能力要求较高，是对学生逻辑推理能力和表述能力的全面考查，能提高区分度，增强高考数学的选拔功能，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正成为一个热点题型.推理与证明的考查热点有：

一、归纳推理

例1（2013湖北理科15）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：

由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）

解析：设n个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为an，由图可知，

a1=2，a2=3，

a3=5=2+3=a1+a2，

a4=8=3+5=a2+a3，

由此推断a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种.

点评：本题考查的是归纳推理.归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理，是从部分到整体，由个别到一般的推理.本题由题设中给出的图形，归纳发现从第三项起后一项是前两项的和，找到规律继而得出结论.

例2（2013陕西理13）观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n个等式为.

解析：把已知等式与行数对应起来，则每一个等式左边式子的第一个数等于行数n，相加的数的个数是2n-1；等式右边都是完全平方数.

所以n+（n+1）+…+[n+（2n-1）-1]=（2n-1）2，

即n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n-1）2.

点评：本题通过观察等号左边式子的变化规律和右边结果的特点，然后归纳出一般结论.行数、项数的变化规律是解答本题的关键.

二、类比推理

例3在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC=12（a+b+c）r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为”.

解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中12类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD=13（S1+S2+S3+S4）r.故填V四面体ABCD=13（S1+S2+S3+S4）r.

点评：本题利用类比推理得出结论.类比推理是由此及彼的推理，是两类类似的对象之间的推理.类比推理的关键是找到合适的类比对象，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质.类比问题常在等比数列与等差数列、平面几何与立体几何等内容中进行命题.

三、演绎推理

例4若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（x1+x2+…+xnn），称函数f（x）为D上的凸函数.现已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，则在ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是.

解析：因为凸函数满足1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（x1+x2+…+xnn），（大前提）

f（x）=sinx在（0，π）上是凸函数，（小前提）

所以f（A）+f（B）+f（C）≤3f（A+B+C3），（结论）

即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=332.

因此sinA+sinB+sinC的最大值是332.

点评：本题是演绎推理三段论的简单应用.从思维过程的指向来看，以“凸函数”的定义为大前提，正弦函数在（0，π）上是凸函数为小前提通过逻辑推理得出结论.

演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理.数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的.三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果.

例5求证：a，b，c为正实数的充要条件是a+b+c>0，且ab+bc+ca>0和abc>0.

分析：由a、b、c为正实数，显然易得a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，即“必要性”的证明用直接法易于完成.证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，直接证明有些难度，需用反证法.

解析：（1）证必要性（直接法）：因为a、b、c为正实数，所以a+b+c>0，

ab+bc+ca>0，abc>0.

所以必要性成立.

（2）证充分性（反证法）：假设a、b、c不全为正实数（原结论是a、b、c都是正实数），由于abc>0，则它们只能是二负一正.

不妨设a

又由于ab+bc+ac>0a（b+c）+bc>0，

因为bc0.①

又a

而a+b+c>0，所以a+（b+c）>0.

所以a>0，与a

故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数.

点评：1.一般的证明分为直接证明和间接证明两种，直接证明主要有综合法和分析法等方法，间接证明主要通过反证法.

2.反证法是一种重要的间接证明方法，在命题的证明时一般是“正难则反”，常见适用反证法证明的有以下六种情形：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）否定性命题；（3）唯一性命题；（4）至少至多型命题；（5）一些基本定理；（6）必然性命题等.

四、数学归纳法

例6已知n∈N*，求证：1・22-2・32+…+（2n-1）・（2n）2-2n・（2n+1）2=-n（n+1）（4n+3）.

解析：①当n=1时，左边=4-18=-14=（-1）×2×7=右边.

②假设当n=k（k∈N*，k≥1）时，等式成立，

即1・22-2・32+…+（2k-1）・（2k）2-2k・（2k+1）2=-k（k+1）（4k+3）.

当n=k+1时，

1・22-2・32+…+（2k-1）・（2k）2-2k・（2k+1）2+（2k+1）・（2k+2）2-（2k+2）・（2k+3）2

=-k（k+1）（4k+3）+（2k+2）[（2k+1）（2k+2）-（2k+3）2]

=-k（k+1）（4k+3）+2（k+1）（-6k-7）

=-（k+1）（k+2）（4k+7）

=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]，

即当n=k+1时成立.

综上所述，对一切n∈N*，等式成立.

点评：数学归纳法常用来证明与正整数有关的命题.在使用数学归纳法时要明确：（1）数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；（2）在运用数学归纳法时，要首先明确初始值n0的取值并验证n=n0时命题的真假；（3）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k+1时命题变化的情况.

例7已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=1n，f（n）=S2n，n=1

S2n-Sn-1，n≥2，

（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.

解析：（1）由已知f（1）=S2=1+12=32，

f（2）=S4-S1=12+13+14=1312，

f（3）=S6-S2=13+14+15+16=1920；

（2）由（1）知f（1）>1，f（2）>1；下面用数学归纳法证明：当n≥3时，f（n）

①由（1）当n=3时，f（n）

②假设n=k（k≥3）时，f（n）

f（k）=1k+1k+1+…+12k

f（k+1）=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2=（1k+1k+1+1k+2+…+12k）+12k+1+12k+2-1k

由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）

所以当n=1和n=2时，f（n）>1；当n≥3时，f（n）

点评：用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，本题就是第二种类型.对这种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，然后用数学归纳法证明.

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1.观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为.

2.设函数f（x）=xx+2（x>0），观察：

f1（x）=f（x）=xx+2，

f2（x）=f（f1（x））=x3x+4，

f3（x）=f（f2（x））=x7x+8，

f4（x）=f（f3（x））=x15x+16，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N+且n≥2时，fn（x）=f（fn-1（x））=.

3.试比较2n+2与n2的大小（n∈N*），并用数学归纳法证明你的结论.

参考答案

1. 43

2. x（2n-1）x+2n

3.解题指南：首先选用特值找到2n+2与n2的大小关系，然后作出猜想，再用数学归纳法证明猜想的结论.

解析：当n=1时，21+2=4>n2=1，

当n=2时，22+2=6>n2=4，

当n=3时，23+2=10>n2=9，

当n=4时，24+2=18>n2=16，

由此可以猜想，2n+2>n2（n∈N*）成立.

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=21+2=4，右边=1，

所以左边>右边，

所以原不等式成立.

当n=2时，左边=22+2=6，

右边=22=4，所以左边>右边；

当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9，

所以左边>右边.

不等式成立.

（2）假设当n=k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，

即2k+2>k2，那么当n=k+1时，

2k+1+2=2・2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

又因：2k2-2-（k+1）2=k2-2k-3

=（k-3）（k+1）≥0，

即2k2-2≥（k+1）2，故2k+1+2>（k+1）2成立.

原不等式成立.

根据（1）和（2）知，原不等式对于任何n∈N*都成立.

（作者：黄荣，如皋市第二中学）