三点共线向量表示形式的应用举例
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三点共线的充要条件：已知O、A、B是不共线的三点，且存在实数x，v使得OP=xOA+yOB，则A、B、P三点共线的充要条件是x+y=1。
这是三点共线的一个充要条件，主要以向量形式表述，用其来解决一些与三点共线有关的问题，显得非常简便和巧妙。举例如下：
一、解决与三点共线有关的求值问题
如图中ABC，AN=13AC，P是BN上的一点，若AP=mAB+211AC，则m的值为.
解：AN=13AC，
AP=mAB+211AC=mAB+611AN
又B、P、N三点共线，
m+611=1
m=511
本题直接利用三点共线的向量式中x+y=1来解决.
2.ABC中，O点是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N。若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=.
解：AO=12AB+12AC
又AB=mAM，AC=nAN
AO=m2AM+n2AN
又O、M、N三点共线，
m2+N2=1
即m+n=2
3.变式：ABC中，点O是BC的中点，K为AO上一点，且AO=2AK.过点K的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N。若AB=mAM，AC=nAN，则m+n=.
解：AO=12AB+12AC
AB=mAM，AC=nAN
AO=m2AM+n2AN，
又AO=2AK
2AK=m2AM+n2AN
AK=m4AM+n4AN
又K、M、N三点共线，
m4+n4=1即m+n=4
以上两题实质都是以AO为桥梁，利用三点共线的充要条件整体求值，体现了三点共线的向量式x+y=1中在求值问题（尤其是整体求值） 中的重要作用.
二、在向量的表示中的应用
4.ABC中，点E在AB边上，F在边AC上，且AE=2EB，AF=13FC，BF与CE交于点M，设AM=xAE+yAF，则x+y=.
解法一：
E、M、C三点共线，
设AM=mAE+（1-m）AC
又AC=4AF
AM=mAE+4（1-m）AF①
B、M、F三点共线
设AM=nAB+（1-n）AF
又AB=32AE
AM=32nAE=（1-n）AF②
又AE，AF又不共线， 32n=m1-n=4（1-m）
解得m=910n=35，AM=910AE+410AF
x+y=1310
此种解法主要通过两组三点共线的向量式设定系数，用同一组基底来表示向量AM，再结合平面向量基本定理求解系数。
解法二
AE=23AB
AM=xAE+yAF=23xAB+yAF
又B、M、F三点共线
23x+y=1①
AF=13AC
AM=xAE+13yAC
又E、M、C三点共线，
x+13y=1②
由①②可得x=910，y=410
x+y=1310
此种解法直接由题目中给出的向量表示形式，变形出两组三点共线的向量表示结构，结合三点共线的向量式中x+y=1列方程组求解。在此类向量表示的题目中，利用三点共线的充要条件（向量式）解决显得更为清晰、简洁巧妙。
三、解决几何图形中，点的定位问题
5.ABC中，O为外心，且AO=xAB+yAC，x+2y=1，AB=2，AC=3求cos∠BAC.
解析AO=xAB+yAC
AO=xAB+2y·12AC
设D为AC的中点，则AO=xAB+2yAD
又x+2y=1，则O、B、D三点共线。
又O为三角形的外心，则O在线段AC的垂直平分线上，所以BD垂直且平分AC.
所以ABC是等腰三角形，AB=BC=2，易得cos∠BAC=34。
本题关键之处是通过变形巧妙凑出三点共线的向量式，再结合向量的几何表示，对点O进一步定位，使问题得以解决。
6.已知P为ABC内一点，且3PA+4PB+5PC=0，则PAB与ABC的面积之比为（ ）
A. 14B. 13 C. 512 D.712
解析：3PA+4PB+5PC=0
5CP=3PA+4PB
57CP=37PA+47PB
设PD=57CP，则D、A、B三点共线。
|PD|=57|CP|
SABPSABC=512，选C。
本题同样是通过对向量式进行变形，凑系数和为1，再结合几何图形来对关键点P定位，从而使问题迎刃而解。在几何（尤其是研究图形性质）问题中，三点共线向量式的运用更具技巧性。
四、解决有关区域或范围问题
7.设P是ABC内部的一点，且满足AP=xAB+yAC，则2x+y的取值范围是.
解：P在ABC内部，延长AP交BC于点D，由D、B、C三点共线，
则设AD=mAB+nAC，（m>0，n>0，m+n=1）
AP=tAD（0
则AD=mtAB+ntAC，
设mt=x，nt=y则x+y=t（m+n）=t>1则有x>0y>0x+y
由此题可对三点共线的充要条件加以延伸：
当t
当t=1，即x+y=1时，点A和点P在直线BC上；
当t>1，即x+y>1时，点A和点P在直线BC的异侧；
8.下列各式中，能使点落在如右图所示的阴影区域内的有.
① OP=OA+2OB②OP=13OA+34OB
③OP=-OA+OB ④OP=-12OA+OB
由7题结论可知选①②.
通过对三点共线充要条件加以延伸，使得我们可以更深刻理解数与形之间的对应关系，对一些区域或范围问题解决起来更为顺畅。