一个代数结构,三种几何意义

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数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休 ”.数形结合是中学数学的一种重要思想方法，对某些代数问题，通过数中思形，数形结合，借助直观可以迅速、准确地找到解题的途径.对于代数式aa2+b2，笔者注意到在中学数学有以下三种几何意义：

（1）若角α终边过点P（a，b）（异于原点），则cos α=aa2+b2；

（2）记OA=（a，b），OB=（1，0），

则cos=aa2+b2；

（3）点（1，0）到直线ax+by=0的距离为|a|a2+b2.

下面一个高考题很多人认为是“偏”题，倘若能发现式子具有aa2+b2的结构特点，利用其几何意义求解将使解题变得势如破竹.

例题 函数f（x）=sin x-13-2cos x-2sin x（0≤x≤2π）的值域是（ ）.

A.-22，0 B.［-1，0］

C.［-2，0］ D.［-3，0］

策略1：常规亦好，花时稍多

将y=f（x）的表达式变形为f（x）=sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2，易知f（x）≤0.

因为f 2（x）=（sin x-1）2（sin x-1）2+（cos x-1）2，所以，当sin x=1时，f 2（x）=0；当sin x≠1，f 2（x）=11+（cos x-1sin x-1）2，求得（cos x-1sin x-1）2的值域为［0，+∞），所以0

-1≤f（x）≤0，故选B.

策略2：饮水思源，巧用定义

将y=f（x）的表达式变形为f（x）=sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2，由三角函数定义知sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2表示终边过点P（sin x-1，cos x-1）的角θ的余弦值.易知点P（sin x-1，cos x-1）的轨迹方程是（X+1）2+（Y+1）2=1，由图得θ∈π+2kπ，3π2+2kπ，k∈Z， 因此cos θ∈［-1，0］，f（x）的值域为［-1，0］.

策略3：构造向量，开辟新路

将y=f（x）的表达式变形为f（x）=sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2，记OA=（sin x-1，cos x-1），OB=（1，0）（其中点O为原点），则sin x-1（sin x-1）2+（cos x-1）2表示平面上OA与OB两个向量夹角的余弦值.易知点A的坐标满足圆方程（X+1）2+（Y+1）2=1.可知OA与OB夹角∠AOB∈ π2，π，所以cos∠AOB∈［-1，0］，f（x）值域为［-1，0］.

策略4：点线距离，巧求值域

将y=f（x）的表达式变形为f（x）=-|1-sin x|（1-sin x）2+（1-cos x）2，根据点到直线的距离公式，1-sin x（1-sin x）2+（1-cos x）2表示点P（1，0）到过原点的动直线l：（1-sin x）X+（1-cos x）Y=0的距离d.当直线l过点P（1，0）时，dmin=0；当直线l与OP垂直时，dmax=1，因此d∈［0，1］，f（x）值域为［-1，0］.

引导学生关注代数式的几何意义，一方面可以简化求解的过程，一方面也可以拓宽学生的数学思维，培养学生综合运用知识来解决问题的能力.此外，还能将数形结合思想的运用在教学中完美的体现出来.

附同类型题目两个，供读者思考：

1、求函数f（x）=4sin x5+4cos x（0≤x≤2π）的值域.

2、求函数f（x）=2-cos x+sin x3-2cos x+2sin x（0≤x≤2π）的值域.