数学史与中学数学问题解决教学结合的认识与实践

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在新一轮基础数学教育课程改革中，培养学生的数学创新思维和能力是新数学课程标准所倡导的重要理念，让学生在数学问题解决过程中形成发现和创新的意识是课堂教学应确立的重要目标。数学史与问题解决教学结合是全面理解数学的一种途径，课堂教学中根据数学教学内容特点多角度地创造条件，通过不同形式介绍数学内容方法的产生和发展历史，特别在问题解决教学中融入数学史方法，常能强化对学生进行解题过程思维训练，培养学生的发现、创新的意思和能力，而且还能有效实现数学问题解决的再创造。本文主要从以下几方面对数学史与问题解决教学结合的有效性进行探讨。

一、挖掘数学家的思想方法渊源，启发学生问题解决的多角度思维

数学史实质上就是一部数学思维方法史，它可以使学生不受时空限制直接向以往数学家学习。法国数学家伽瓦罗说：“一个人要想在数学上取得成就，最有效的方法就是向数学大师们学习。”古往今来，数学思想方法不计其数，每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。以史为源，挖掘数学家的思想方法渊源，引导学生对古今中外的解决方法进行对比，使学生了解古今方法的演变，从而启发他们的思维，学会处理现代数学问题。

例如，球体体积公式的推导，中国数学家祖暅用的是截面法；阿基米德用的是力学方法；开普勒用的是棱锥求和法；卡瓦列利用的是自己截面原理推导方法；而日本数学家关孝和用的是切片法等。将这些方法中若干种引入课堂教学，不仅使学生明白这些公式的源流，还能拓宽他们的知识视野，培养其全方位的思维能力。

如在介绍完球体体积公式的推导的几种方法后，出示下题：

设有一个椭圆，其长轴为2a、短轴为2b，现将椭圆长轴旋转得一个椭球体，你有办法求出它的体积吗？

在课堂中发现有 的同学采用的是切片法，即把半个椭球体n等分，把每一份看成圆柱，求出体积，相加，再求极限。另外 的同学利用祖暅原理，即构造一个与椭球截面积处处相等的几何体可见学生能解决此题得益于球体积公式的推导法，不同的方法对学习者不同的启示，教育心理学家加涅指出：“影响问题解决的一个最明显的因素是问题解决者必须能够回忆起先前已习得的与问题有关的规则”.正是这些推导法所用到的思想在解决问题中被激活，使得问题得以解决.因此，教师在教学过程中要注重思想方法的教学，切不可就题论题，即“授人以鱼，不如授人以渔”。

二、探究数学家问题发现过程，启发学生问题解决中发现意思的形成

弗莱登塔尔说得好：“我们不应该遵循发明者的历史足迹，而是经改良过同时有更好的引导作用的历史过程”.在教学过程中，学生应当有机会经历与数学事件的历史发展相类似的探究过程，但此时并不是真正的去创造，而是在教师的引导下获得知识。学生沿着历史发展的路径，了解某部分的数学问题解决的前因后果，在此过程中他们的学习也包含了再创造、再发现的意义。

中国数学史上最早完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪的赵爽。他的思路是以一直角三角形的勾和股为边的两个正方形的合并图形，如果将合并图形所含的两个三角形如图由箭头所指移补到所示位置，将得到一个以原三角形之弦为边的正方形，其面积为 ，因此 .该图称为“赵爽图”

利用此图的构成思路，我们可以解决许多问题。如P是正方形ABCD外面一点，PB=12cm， APB的面积是90cm2，

CPB的面积是48cm2。问：正方形ABCD的面积是多少？

解：自A、C分别作PB的垂线，交PB延长线于E，F。则由APB的面积为90cm2 ，可得 PB×AE÷2=90 求得 AE=15厘米。

由CPB的面积为48cm2，求得 CF=8厘米.

注意到直角ABE逆时针旋转与直角BCF重合。所以ABE与BCF全等。同样，继续旋转两次，在正方形ABCD内部形成弦图的基本构图。

由ABE与BCF全等，即得BE=CF=8厘米，再由勾股定理，得 AB2=AE2+BE2=152+82=225+64=289

即正方形ABCD的面积是289平方厘米。

“赵爽图”直观巧妙的启发了我们的解题思路，经过对它进行再创造性利用，就可轻松解决上一问题.

三、巧妙运用历史上数学家的古典数学方法，实现问题解决的再创造

波利亚认为：“解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能靠模仿和实践才能学到它.”你若想善于解题，你就必须参加解题实践。为了有成效的模仿，笛卡儿曾强调：“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解其他问题.”

割补法示例

割补法---我国古代几何学的特色之一，古称出入相补原理。所谓“出入相补”原理即是一个平面（或立体）图形从一处移到它处，面积（体积）不变，又若把图形分割成若干块，则各部分面积（体积）和等于原来图形的面积（体积）。

出入相补原理在平面和立体几何上的运用可上溯到刘徽的《九章算术》，刘徽对三角形和直角梯形面积公式的证明：割去有关三角形，移补到相应位置（刘徽称之为“以盈补虚”），各得一矩形。

模仿数学家解决问题法来考虑下问题：正三角形ABC的边长为2，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，且AA1=1，BB1=3，CC1=2

求几何体ABC- A1B1C1的体积。

由形特点首先想到用分割方法，即过A1点作平行于底面的截面，转化为求一个三棱柱和一个四棱锥体积之和的问题。

还可以启发学生改善原方法，用补全法，将AA1延长，补成直三棱柱，变成我们熟知的规则图形，问题可迎刃而解。

我们在模仿数学家解题时并不是照搬照抄，死搬硬套地机械性模仿，而是要创造性地应用他们的技巧方法，在古为今用的原则下实现数学问题解决的再创造。.

参考文献：

[1] 任明俊，关于球体积教学各异的调查与分析，数学教学， 2005.4. P4-9.

[2] 于琛，数学问题的解决[M].长春：东北师范大学出版社，2000.7

[3] 鞠佰成，数学史与中学数学教学， 淮北职业技术学院学报， 第3卷第1期

2004年3月

[4] 张奠宙，戴再平.中学数学问题集[M].上海：华东师范大学出版社，1996.