存在or任意

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问题 已知两个函数f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，x∈[-3，3]，k∈R.

（1） 若对?坌x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数k的取值范围；

（2） 若?埚x∈[-3，3]，使得f（x）≤g（x）成立，求实数k的取值范围；

（3） 若对?坌x1，x2∈[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数k的取值范围.

解 （1） 设h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，则原问题转化为：x∈[-3，3]时，h（x）≥0恒成立，即[h（x）]min

≥0.

可得h′（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）.

当x变化时，h（x），h′（x）的变化情况如下表：

因为h（-1）=k+7，h（2）=k-20，所以根据上表可知[h（x）]min=k-45.故由k-45≥0，得k≥45，即k∈[45，+∞）.

小结 ①对于闭区间I，不等式f（x）k，x∈I.②此题常见的错误解法是：由[f（x）]max≤[g（x）]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f（x）]max≤[g（x）]min”只是原题的充分条件，不是充要条件.

（2） 根据题意，可知原问题等价于h（x）=g（x）-

f（x）≥0在x∈[-3，3]时有解，故[h（x）]max≥0.

根据（1）可知[h（x）]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[-7，+∞）.

小结 ① 对于闭区间I，不等式f（x）k，x∈I.②此题常见的错误解法是：由[f（x）]min≤[g（x）]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f（x）]min≤[g（x）]min”既不是原题的充分条件，也不是必要条件.

（3） 根据题意，可知原问题等价于[f（x）]max≤

[g（x）]min，x∈[-3，3].

由二次函数的图像和性质，可得当x∈[-3，3]时，[f（x）]max=120-k.

仿照（1），由导数的方法，可得当x∈[-3，3]时， [g（x）]min=-21.

由120-k≤-21，得k≥141，即k∈[141，+∞）.

说明 这里x1，x2是两个互不影响的独立变量.

从上面三个问题的解答可以看出，对于一个不等式，一定要看清是对“?坌x”恒成立，还是“?埚x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量，千万不要稀里糊涂的去猜.请看下面一个高考实例.

例题 （2010年山东理科卷）已知函数f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）.

（1） 当a≤时，讨论f（x）的单调性；

（2） 设g（x）=x2-2bx+4，当a=时，若对?坌x1∈（0，2），?埚x2∈[1，2]，使f（x1） ≥g（x2），求实数b的取值范围.

解 （1） 当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；

当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当0

（2） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），而f ′（x）=-a+=-.

当a=时，由f ′（x）=0，可得x1=1，x2=3.

因为a=∈0，，x2=3?埸（0，2），结合（1）可知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，所以f （x） 在（0，2）上的最小值为f （1）= -.

由于“对?坌x1∈（0，2），?埚x2∈[1，2]，使f（x1） ≥

g（x2）”等价于“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值f （1）= -”.（）

又g（x）=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2]，所以当b0，与（）矛盾；当b∈[1，2]时，[g（x）]min=4-b2≥0，同样与（）矛盾；当b∈（2，+∞）时，[g（x）]min=g（2）=8-4b，所以解不等式8-4b≤-，可得b≥.

综上，b的取值范围是，+∞.

1. 已知函数f（x）=x+，x∈[-2，-1），-2， x∈[-1，），x-，x∈，2，g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，若对于任意的x1∈[-2，2]，总存在x0∈

[-2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，求实数a的取值范围.

1. -∞，-∪，+∞.