数列求和题求解九策略
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在最近两年中，大多数省份的数列大题、小题均考查了数列求和的知识?郾 因此，我们有必要对这一知识点进行系统研究，对常见的数列求和的方法作一综述，以帮助同学们进行高效复习?郾 数列求和题的求解策略通常有如下九种?郾
一、运用等差数列的求和公式
例1 （2010年全国卷Ⅱ）如果等差数列｛an｝中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）
A?郾 14?摇 B?郾 21?摇
C?郾 28?摇?摇 D?郾 35
解 在等差数列｛an｝中，因a3+a4+a5=3a4=12，从而a4=4.
又a1+a2+…+a7=S7=■=7a4=28?郾 故选C?郾
点评 本题考查等差数列的基本性质与常见公式. 数列求和公式有：Sn=na1+■及Sn=■?郾 在本题的解答过程中，后者显然方便得多?郾
二、运用等比数列的求和公式
例2 （2010年广东卷）已知数列｛an｝是等比数列，Sn是它的前n项和，若a2・a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为■，则S5=（）
A?郾 35?摇?摇 B?郾 33?摇 C?郾 31?摇 D?郾 29
解 设数列｛an｝的首项为a1，公比为q，又因为a2・a3=2a1，a4+2a7=2×■，所以a1q・a1q2=2a1，a1q3+2a1q6=2×■，解得a1=16，q=■?郾 故S■=■=■=31?郾 故选C?郾
点评 一般来讲，等比数列求和试题不可能事先已知首项及公比，这些数据常常需要考生运用数列的基础知识去求，然后再运用求和公式Sn=■或Sn=■（q≠1）来求解?郾
三、分组求和法
例3 数列7，77，777，…，777…7的前n项和为Sn，则Sn=?摇?郾
解 考虑到数列的通项公式是an=■=■（■）=■（10n-1），于是Sn=7+77+777+…+■=■［（10-1）+（102-1）+（103-1）+…+（10n-1）］=■［（10+102+103+…+10n）］-■n=■（10n+1-10）-■n?郾
点评 本题要求同学们将通项公式an化为一个等比数列与一个等差数列的和，再分别分组求和?郾
四、加减相消法
例4 已知数列｛an｝的通项公式为an=n2，Sn是它的前n项和，则S■=?摇 ?郾
解 an=n2，（k+1）3-k3=3k2+3k+1，以k=1，2，3，…，n代入得：
23-13=3×12+3×1+1，
33-23=3×22+3×2+1，
43-33=3×32+3×3+1，
……
（n+1）3-n3=3n2+3n+1?郾
以上各式相加得：
（n+1）3-13=3（12+22+32+…+n2）+3（1+2+3+…+n）+n，
即3Sn=（n+1）3-（n+1）-3（1+2+…+n）=■?郾
故Sn=■?郾
点评 常见求和公式有：1+2+3+…+n=■，12+22+32+…+n2=■，1+3+5+…+（2n-1）=n2?郾 记住这些公式，对同学们快速解题是大有裨益的?郾
五、分解通项公式法
例5 数列1×3，2×4，…，n（n+2）的前n项和为Sn=?摇 ?郾
解 该数列的通项公式是an=n（n+2）=n2+2n，则
Sn=（12+22+…+n2）+2（1+2+…+n）
=■+2×■
=■?郾
点评 本题将通项公式an进行分解，使之化为两个常见的数列bn=n2及cn=n的和的形式，而数列bn=n2及cn=n前n项的和是不难记忆或求出的?郾
六、分母裂项法
例6 （2010年山东卷）已知等差数列｛an｝满足：a3=7，a5+a7=26. ｛an｝的前n项和为Sn?郾
（Ⅰ） 求an及Sn；
（Ⅱ） 令bn=■（n∈N*），求数列｛bn｝的前n项和Tn?郾
解 （Ⅰ） 设数列｛an｝的首项为a1，公差是d，因为a3=7，a5+a7=26，可得a1=3，d=2.
故an=3+2（n-1）=2n+1；Sn=■=n2+2n?郾
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知an=2n+1，所以bn=■=■=■×■=■（■-■），所以Tn=■［（■-■）+（■-■）+（■-■）+…+（■-■）］=■，即数列｛bn｝的前n项和Tn=■?郾
点评 本题第（Ⅱ）问的通项公式是bn=■×■，对通式■运用分母裂项法得：■-■. 在这个数列前n项的和式中，刚好使得一个正数项与一个负数项相间出现，以便抵消?郾 常见的分母裂项法有：■=■（■-■），■=■（■-■）?郾
七、倒序相加法
例7 在数列｛an｝中，an=■，则a1+a2+…+a2010=?摇?摇?郾
解 因为an=■，则
ak+a■=■+■=■=1，
于是S=a1+a2+…+a2009+a2010，?摇 ?摇①
即S=a2010+a2009+…+a2+a1?郾 ?摇?摇②
①+②得2S=（a1+a2010）+（a2+a2009）+…+（a2010+a1）=2010，
则S=1005?郾 故填1005?郾
点评 假如一数列中，与首末两端等距离的两项的和等于一个常数，一般用倒序相加法进行求和?郾
八、错位相减法
例8 设数列｛an｝的通项公式是an=（2n-1）xn-1，则数列｛an｝的前n项和Sn=?摇?摇?摇?郾
解 显然，当x=1时，Sn=1+3+5+7+…+（2n-1）=n2；
当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-3）xn-2+（2n-1）xn-1，?摇?摇 ①
xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-3）xn-1+（2n-1）xn?郾 ?摇?摇②
①-②得：（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-（2n-1）xn=2・■-1-（2n-1）xn，即Sn=2・■-■?郾
故Sn=n2，?摇?摇（x=1），2・■-■，（x≠1）?郾
点评 错位相减法是高考文科学生必须掌握的基本知识点之一?郾 请同学们注意，在这种题目中，一定要考虑公比是否等于1?郾
九、分类讨论法
例9 （2009年江西文科卷）数列｛an｝的通项an=n2（cos2■-sin2■），其前n项和为Sn?郾
（1） 求Sn；
（2） 若bn=■，求数列｛bn｝的前n项和Tn?郾
解 （1） 由于cos2■-sin2■=cos■，则
S■=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a■+a■+a■）
=（-■+3■）+（-■+6■）+…+［-■+（3k）2］?郾
考虑到通项公式是a3k-2+a3k-1+a3k= -■+（3k）■=9k-■?郾
① 当n=3k时，S3k=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3k-2+a3k-1+a3k）= 9（1+2+3+…+k）-■=■-■=■+2k，由n=3k，得k=■，
Sn=■×（■）2+2×■=■+■；
② 当n=3k-1时，S3k-1=S3k-a3k=■+2k-（3k）2=2k-■，由n=3k-1，得k=■，
Sn=2（■）-■（■）■=-■-■+■；
③ 当n=3k-2时，S3k-2=S3k-1-a3k-1=2k-■+■=■-k，由n=3k-2，得k=■，
Sn=■-k=■-（■）=-■-■?郾
故Sn=-■-■， （n=3k-2），-■-■+■，（n=3k-1）， ■+■， （n=3k）?郾 （k∈N*），
（2） Tn=■-■-■?郾 （过程略）
点评 如果一个数列中的各项的正负符号呈周期性变化，就可考虑以此周期为依据进行分类讨论?郾 不过，结论中不能用k来表示Sn，而应该用n来表示Sn?郾
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