创建问题连续体,让数学为思维而教
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在哈佛大学师生中流传着这样一句名言：“The one real object of education is to have a man in the condition of continually asking questions.”(教育的真正目的就是让人不断地提出问题、思考问题)。问题是思维的起点，解决问题固然重要，但善于提出问题更是众矢之的。数学的核心就是问题，数学因问题而生，教学有着以解决问题为核心的特征。学科教学中，通过师生构建问题连续体，以问题驱动教学，让学生经历数学知识的再创造，学生提出问题、解决问题的能力自然会逐步提高，同时学生的思维能力也会得到提升。
从学生的认知过程和思维过程来看，对于一个问题的彻底解决，一般要经历三个阶段：第一，对问题的理解，产生解决问题的假设；第二，对问题的解决，针对假设进行论证或验证；第三，对问题的反思，将具体问题形式化。要成功地解决问题，这三个阶段缺一不可，将“问题”渗透到数学的教学过程之中，学生的思维能力就会在问题解决中不断提高。鉴于此，教师在日常的教学中，需要从三个层面培养学生的“问题”意识。
一、依托学生实情，精心设计问题
数学教学需要揭示数学的本质，教学中要讲道理，更要讲推理，努力把数学的学术形态适当地转化为学生易于接受的教育形态。“学起于思，思源于疑”，学生的思维参与往往是从理解问题开始的，故此教学问题的设计在符合知识本位要求的同时，还要考虑到学生学习的“最近发展区”，只有这样，问题的提出与解决才会对课堂教学的推进起到关键作用。问题的设计不仅需要从角度、难度、跨度和广度等方面启迪学生思维，使学生的思维活动逐渐由已知引入未知，达到释疑、解惑的目的，还要随着教学过程的展开成为一个连续的过程，并形成几个高潮，不断激发学生的学习动机，使学生处于“愤悱”的状态。要尽可能提供给学生思考、探究的时间和空间，因势利导，适时进行学法指导，积极主动、勇于探索的学习方式才可能落到实处，实现知识的迁移和能力的飞跃。
案例1：在人民教育出版社新课改数学教材必修4“正弦、余弦函数的图像”一节的教学中，考虑到学生课前知识储备和数学思维基础的实情，为达到本课时的三维教学目标，整节课在借用“装满细沙的漏斗做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”形成正弦、余弦函数图像的感知后，仅仅设计两个教学问题就可以完成整个教学过程。问题1：如何做出正弦函数的图像？发散性问题的提出，自然给学生提供了较为宽广的思维空间。学生间的相互启发，教师的点拨评价，很快就出现了“对话式”的教学场景。学生在问题的探讨中，先后提出了计算机作图，特点是快捷、准确、欠缺过程；描点法作图，特点是费时、粗略、难于计算数值；几何法作图，依据是建立单位圆中的正弦线与函数图像间点的关系。当然，本问题的提出重点在师生探讨如何利用正弦线做出正弦函数的图像。问题2，如何做出余弦函数的图像？在上面三种做法的基础上，学生通过对前面所学习的三角函数诱导公式的回忆，提出了第四种得到余弦函数图像的方法，依据诱导公式：，将正弦函数图像向左平移个单位得到。正是上面两个教学问题的依次提出，学生在合作探究、质疑展示中才很好地完成了一节课的教学任务。
二、倾听学生反馈，细心捕捉问题
传统教学中，教学以我为中心，以教参为中心，以标准答案为中心，在“自己设立的问题”模式中，认为学生的回答完全落入教师设计的轨道，这样的教学过程便是成功。新课程改革带给课堂一缕清风，教师要秉承“以人为本”的教育理念，努力成为学生学习的指导者与合作者。课堂教学中，教师不仅要关注学生对自己提出的问题回答得正确与否，重要的是能否善于分析出学生问题反馈中错误的归因。哪怕是学生给出问题的答案超出预想，教师也大可不必立刻表明否定态度，俯下身子挖掘到学生问题构想的障碍更是难能可贵。因此，课堂中不仅要注意预设问题的解决，同时要关注课堂生成性问题的处理。教师对课堂富于价值性问题的捕捉与延伸，信手拈来，为我所用，这正是教学的科学性和艺术性所在。
案例2：在上面的教学案例中，本节课的教学难点是引导学生借用单位圆中的正弦线做出正弦函数图像。这个教学环节一定是由师生共同完成的。在教学的实施中，我预设的教学课件是将单位圆等分12等份，分别做出各个角度的正弦线，通过线段的平移得到一些特殊角的正弦值。而学生王某扬言要将单位圆等分10份，这与我的课前准备显然不一致。从教多年的睿智让我继续追问学生如何运用尺规平分圆周得到360°角的问题。假若不能顺利将圆周角10等分，就无法通过度量得到相应角的正弦值。学生既而认识到了这样等分显然不是很合理。虽是简单的一句追问，这里既体现出对学生话语的尊重，还达到了学生自己修正问题答案的效果。通过师生间的平等对话，很快就确定了通过正弦线做出函数图像的基本步骤。（1）建立直角坐标系，在直角坐标系中y轴左侧画单位圆。（2）把单位圆分成12等份，过单位圆上的各点作x轴的垂线可以得到对应于角的正弦线。（3）确定横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份。（4）确定纵坐标：将正弦线对应平移，指出相应的12个点。（5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，可得图像。借的图像，通过正弦线“周而复始”（依据是诱导公式，其中）的变化规律得到正弦曲线。在教学反思中我写到，正确面对课堂教学中发生的“意外”，只要引导得当，将课堂还给学生，便可以较好地培养学生探究数学的兴趣和能力。教师思维的机智灵活，往往换来的是学生的惊人发现。
三、激活学生思维，匠心善待问题
著名教育家布鲁巴克指出：最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是学生自己提问题。有些教师总爱以讲为主，教学“一言堂”的出现顶替了学术探讨中的“百家争鸣”。如何善待提问，早在《学记》中就有论述：善待问者如撞钟，叩之以小者则小鸣，叩之以大者则大鸣，待其从容，然后尽其声。不善答问者反此。“善待问”，是教师对学生的最大鼓励，也是对学生的希望与信任。只有把课堂当做思想交流的对撞场所，学生才能“肆无忌惮”地提出质疑，甚至否定，教师也才能善待学生在教学上的挑战。依建构主义的观点来看，知识必须通过学生的主动建构才能获得。所以，课堂应成为教师与学生、学生与学生“思维碰撞”的场所，只有把认知因素与非认知因素有机结合起来，充分调动学生认知的、心理的、生理的、情感的、行为等方面的因素，让学生进入一种全新的境界，学生“问题”的意识才能自觉。
案例3：在人民教育出版社新课程数学教材必修1“函数的单调性”的教学中，我设计的问题是：以函数y=x+1为例，如何量化说明“y随x的增大而增大”？问题的提出，便给出学生较为开放的探索空间，随着学生的深入探究，提出了渐为完备的解决方案。学生为表述y随x的增大而增大，借了图像上多个孤立变量x值的增大：x值依次取1,2,3,4……相应y值的增大，y值依次得到2,3,4,5……来体现。此时，个别学生提出了图像上一些离散点的变化规律，不能反映图像连续的变化趋势，产生了“举全做不到，举不全不可信”的认知冲突。于是学生的争议过后，提出的问题是：如何借用数量体现自变量选取的任意性及相应函数值变化的一致性？促使学生继续探索，需用“任意、都有”两词来实现。通过学生的积极参与、问题的提出与解决，逐步突破抽象定义的难点――用离散的变化特征表述连续的变化趋势。后继的教学中，学生针对函数f(x)在区间(a,b)上是增函数的定义：且x1
德国教育家第斯多惠曾说：教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒与鼓舞。在课堂教学中，无论是教师对问题的精心预设、师生对话中问题的及时生成，还是学生针对问题的反思质疑，这些都是形成教学问题连续体的关键。师生的共同探讨会让问题的解决求真求实，在解决问题的同时，又会不断地产生新问题，让学生总是带着问题走进课堂，带着更深入的问题期盼下一次的教学。长此下去，有步骤地构建问题连续体，不断地提升学生解决问题的知识和能力，便达到了有效开发学生潜能的作用，将数学为训练学生的思维而教落到实处。
(作者单位：北京市第十中学)（责任编辑：郭敬燕）