割补法在一类问题中的应用

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正方体或长方体有一显著特征，从一个顶点出发的三条棱相互垂直，或者这样认为

从一点出发连续有三条棱相互垂直.

如图1，从A点出发，AD，AB，AA1三条棱相互垂直；从A点出发AA1，A1B1，

B1C1三条棱相互垂直.

在具体问题中，往往给出与这样相互垂直的三条棱相关的条件.

如图2，已知四棱锥P―ABCD是底边边长为6的正方形，侧棱PA平面ABCD，且PA=8.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求四棱锥P―ABCD外接球表面积，体积.

分析 从A出发的三条棱AP，AD，AB相互垂直；

从C出发三条棱CD，DA，AP相互垂直.

[HJ]

又如图3，三棱锥P―ABC中，若PA平面ABC，且∠BAC=90°，PA=4，AB=3，AC=4，

求它的外接球的体积.

分析 从A出发的三条棱AP，AC，AB相互垂直.

对这类问题的处理，可将棱锥补全为一个正方体或长方体进行处理.任何正方体或长方体都

有一个外接球.正方体或长方体的体对角线为球的直径.

1.将棱锥补为长方体，求外接球表面积与体积

例1 如图4，点S，A，B，C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC

=[KF（]2[KF）]，球O的表面积等于.

分析 由于从点S出发的SA，AB，BC相互垂直，所以三棱锥

S―ABC为长方体的一部分.

解 将S―ABC补全为一个长方体，如图5所示长方体ABCD―SB1C1D

1.

则SC为长方体的一条体对角线，

所以SC=[KF（]AB2+AS2+AD2[KF）]=2，

球半径R=1.

所以，球O的表面积S=4π.

2.将棱锥补为正方体考察内切球体积表面积

例2 已知正四面体PABC棱长为2[KF（]2[KF）]，其六条棱分别与球O相切，则

该球的表面积是.

分析 本题若按照一般三角形中边角转换，计算量较大，比较难以完成.若将

正四面体PABC视为正方体中的一部分，则问题就会变得比较简单了.

解 如图6，将正四面体补为一个正方体，则球O与正方体各面相切，切点在

各个面的面对角线中点处.

因为正四面体PABC棱长为2[KF（]2[KF）]，

所以正方体棱长为2.

所以内切球直径长为2，半径为1，

表面积为4π.

3.由一些直棱柱补全为正棱柱，再考察它的外接圆柱，再考察外接球

例3 直三棱柱ABC―A1B1C1的各顶点都在同一个球面上，

AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积与体积为.

分析 如图7所示，直棱柱可以补全为正六棱柱，而正六棱柱与它的外接圆柱

以及圆柱的外接球为同一个球. 因此，外接球的直径为圆柱轴截面的对角线.

解 作出已知直棱柱的外接圆柱.

则圆柱轴截面对角线为外接球的直径.

如图8，轴截面为矩形DEFG，

EF=DG=AA1=2.

如图9，上底面圆的直径为DE，其内接三角形为ABC.由正弦定理可知，

[SX（]BC[]sinA[SX）]=2r=DE.

由顶角BAC为120°，AB=2可知

BC=2[KF（]3[KF）]，

从而DE=[SX（]BC[]sinA[SX）]=[SX（]2[KF（]3[KF）][][SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）][SX

）]=4.

进而GE=[KF（]DE2+DG2[KF）]=2[KF（]5[KF）].

所以外接球半径为[KF（]5[KF）]，

表面积为S=20π，

体积为V=[SX（]4[]3[SX）]π（[KF（]5[KF）]）3=[SX（]20[KF（]5[KF）][]3[SX）]π.

巩固练习 1.在四面体S―ABC中，SA平面ABC，ABBC，SA=1，AB=2，BC=4，

则它的外接球的表面积等于.

2.已知正四面体PABC棱长为4，其六条棱分别与球O相切，则该球的体积是.

3.直三棱柱ABC―A1B1C1的各顶点都在同一个球面上，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，

则此球的表面积为，体积为.

答案1.21π 2.[SX（]8[KF（]2[KF）]π[]3[SX）]

3.12π，4[KF（]3[KF）]π

【作者单位：（210014）江苏省南京九中震旦校区】