从《植树问题》说开去

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【摘要】“数学是关于模式的科学”这一观点如今已得到了普遍的认同 ，那么怎样才能变成普通模式呢？关键是要把“生活情境”去掉，要从具体的“植树问题”抽象成“间隔问题”，重要的手段就是引进符号，着眼点由原来的现实情境转移到“一一对应”的关系上，也就是要进行一种数学抽象活动，抽象出一个相同的结构，普遍的模式。

【关键词】模式 抽象 符号 一一对应

《植树问题》有两种不同的教学活动：第一种是重点分析植树问题的三种类型：“两端都种”“只种一端”和“两端都不种”。强调“三种类型”的区分以及相应的“加1”“减1”的计算法则，要求学生牢固掌握并能直接加以运用。第二种是以“植树问题”为原型引出普遍性的数学模式，包括路灯问题，锯木头问题，爬楼问题、敲钟问题等。

究竟何者应该被看做这一教学活动的重点？什么又是这一教学活动的真正难点？笔者的看法是普遍的数学模式更重要，如果学生未能清楚地认识到路灯问题、锯木头问题、爬楼问题、敲钟问题等都与植树问题有着相同的数学结构，也即可以被归纳为同一个数学模式，对他们来说“这究竟属于‘植树问题’的哪个类型”这样的问题就完全没有意义。

那么怎样才能变成普通模式呢？关键是要把“生活情境”去掉，要从具体的“植树问题”抽象成“间隔问题”，重要的手段就是引进符号（，，……），着眼点由原来的现实情境转移到“一一对应”的关系上——树和间隔的一一对应，也就是要进行一种数学抽象活动，抽象出一个相同的结构，普遍的模式，进而可知，“加1”“减1”等法则只是依据这一基本模式作出的适当变化，也即依据基本模式并通过适当变化以适应变化了的情况。

在刚才的研究中，反复出现了“模式”一词，“数学是关于模式的科学”这一观点如今已得到了普遍的认同，以模式论的数学观为指导组织数学课堂教学也已成为许多教师的研究课题。

笔者将提供小学阶段的一个课例，与读者一起来研究如何从现实的生活问题中归纳建立适用的数学模式。

六年级上册：解决问题的策略——假设

例1：全班42人去公园划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？

笔者研究了《解决问题的策略——假设》的课例，教科书呈现两种方法：画图假设和列表假设。教师在教学过程中往往孤立了两种方法，忽略了两者的沟通和联系，这必然导致学生脑海中的知识呈现出一个零散无序的状态。那么如何沟通两者之间的联系呢？如何帮助学生找到解决此类问题的基本方法呢？其实无论是画图假设，列表假设，亦或直接列式，都基于一个共同数学模式下：假设——分析——调整——检验。我们来分析这一数学模式，进而感受一下这一缜密的逻辑推理的过程。

1.假设：可以假设10只全是大船，也可以假设10只全是小船，亦或5只大船和5只小船，亦或6只大船和4只小船等等。

2.分析：根据假设进行分析，如果10只都是大船，可坐50人，而全班只有42人，分析得出结论：假设错误。

3.调整：这是一个既严格又灵活的过程，因为假设错误，所以你需要调整原来的方案，甚至并重新设计方案，你也可以将基本模式适当加以变化，比如跳过原先方案中的某些程序，加速求解的进程等。

4.检验：检验答案真伪。作为教者，我们必须总结提升不同的方法，归纳建立普遍的模式。当然要建立巩固这样一个数学模式，一个“划船”的情境是远远不够的，还需要补充“鸡兔同笼”，“单打双打”等情境，让学生对若干具有相同数学结构的不同情境进行比较，从现实的生活问题中归纳建立并巩固适用的数学模式。

“解决问题”的教学，真正要给予学生的是解决某一类问题的基本模式，所以我们还需要对这类问题的特征及结构有明确的认识，在本课之前学生学习了《解决问题的策略——替换》，我们不妨把两道例题放在一起进行剖析比较。

例1：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。小杯的容量是大杯的1/3。大杯和小杯的容量各是多少？

例2：全班42人去公园划船，一共租了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？

相同之处：都有两个分量A和B，例1是大杯小杯，例2是大船小船；

总量都是已知，例1是共有720毫升果汁，例2是全班42人；不同之处：例1是已知分量的份数求每份数（已知大杯小杯的个数，求每个大杯小杯各装多少毫升），例2已知分量的每份数求份数（已知每只大船和小船各坐几人，求大船和小船的只数）；

通过比较辨析，学生对问题的特征会有更加深入的认识。例1例2虽然是两种截然不同的数学结构，但却有着千丝万缕的联系，我们会惊喜的发现：两种问题的已知条件和所求问题恰恰相反。在本单元的综合练习中，我们不妨把这两种问题放在一起，让学生抓住问题的特征进行思考：用“替换”的策略还是用“假设”的策略？

在教学中，只要教师善于帮助学生总结方法，善于建构数学模式，再复杂的题目，学生只要抓住问题的所在，就能迎刃而解。

（作者单位：常州市雕庄中心小学）