练习(6)概率、统计、算法

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一、填空题

1.复数z=(1－i)i(i为虚数单位）的共轭复数为.

2.若a+i1－i（i是虚数单位）是实数，则实数a的值是.

3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在［15,30］内的人数为.

4.若以连续掷两次骰子得到的点数m,n分别为点P的横、纵坐标，则点P在圆x2+y2=16内的概率为.

5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为分．

6.在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为.

7.如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是.

8.若m∈(0,3)，则直线(m+2)x+(3－m)y－3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于98 的概率为.

9. (3x－1x)15二项展开式中，第项是常数项.

10．若(x+2)n=xn+…+ax3+bx2+cx+2n(n∈N,n≥3)且a∶b=3∶2，则n=．

11．用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是(用数字作答).

12． 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分.

13．从某高级中学高一年级的10名优秀学生（其中女生6人，男生4人）中，任选3名学生作为上海世博志愿者，问恰好选到2女1男的概率是．(用数值作答)

14. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为．

二、解答题

15.高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为多少？

（2）根据题中信息估计总体平均数是多少？

（3）估计总体落在［129，150］中的概率.

16.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12,a,a(0

（1）求ξ的分布列及数学期望；

（2）在概率P(ξ=i)(i=0，1，2，3)中, 若P(ξ=1)的值最大, 求实数a的取值范围.

17．为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，

其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）.现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，

其中34是境外游客，其余是境内游客.在境外游客中有13持金卡，在境内游客中有23持银卡.

（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；

（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.

18．袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求：

(1)随机变量ξ的概率分布律；

(2)随机变量ξ的数学期望与方差.

19．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响. 记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2.

（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；

（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为p(0

20．某校校运会期间，来自甲、乙两个班级共计6名学生志愿者随机平均分配到后勤组、保洁组、检录组，并且后勤组至少有一名甲班志愿者的概率为45.

（1）求6名志愿者中来自甲、乙两个班级的学生各有几人?

（2）设在后勤组的甲班志愿者的人数为X,求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X).

21．如图，在某城市中，M,N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N,M为止.

（1）求甲经过A2到达N的方法有多少种；

（2）求甲、乙两人在A2处相遇的概率；

（3）求甲、乙两人相遇的概率.

22．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

（Ⅰ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

品种甲403397390404388400412406

品种乙419403412418408423400413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据x1,x2,…,xn的样本方差s2=1n［(x1－x)2+(x2－x)2+…+(xn－x)2］，其中为样本平均数．

参考答案

1. 1－i

2. -1

3. 100

4. 29

5. 2

6. 50

7. 16

8.23

9. 7

10． 11

11． 72

12． 757

13. 12

14. 1316

15. 解：设抽取的样本为x名学生的成绩，则由第四行中可知0.3=12x，所以x＝40.④40，③处填0.1，②0.025，①1.

(2)利用组中值估计平均数为

=90×0.025+100×0.05+110×0.2+120×0.3+130×0.275+140×0.1+150×0.05=122.5，

(3)在［129，150］上的概率为610×0.275+0.1+611×0.05≈0.292.

16.（1）P(ξ)是“ξ个人命中,3－ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0，1，2，3.

P(ξ=0)=C01(1－12)C02(1－a)2=12(1－a)2,

P(ξ=1)=C11・12C02(1－a)2+C01(1－12)C12a(1－a)=12(1－a2),

P(ξ=2)=C11・12C12a(1－a)+C01(1－12)C22a2=12(2a－a2),

P(ξ=3)=C11・12C22a2=a22.

所以ξ的分布列为

ξ0123

P12(1－a)212(1－a2)12(2a－a2)a22

ξ的数学期望为

Eξ=0×12(1－a)2+1×12(1－a2)+2×12(2a－a2)+3×a22=4a+12.

（2）P(ξ=1)－P(ξ=0)=12［(1－a2)－(1－a)2］=a(1－a),

P(ξ=1)－P(ξ=2)=12［(1－a2)－(2a－a2)］=1－2a2,

P(ξ=1)－P(ξ=3)=12［(1－a2)－a2］=1－2a22.

由a(1－a)≥0,1－2a2≥0,1－2a22≥0

和0

17．解：（1）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡.

设事件B为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，

事件A1为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，

事件A2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”.

P(B)=P(A1)+P(A2)

=C19C221C336+C19C16C121C336

=934+27170=3685

所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685.

（2）ξ的可能取值为0，1，2，3,P(ξ=0)=C33C39=184,

P(ξ=1)=C16C23C39=314,

P(ξ=2)=C26C13C39=1528,

P(ξ=3)=C36C39=1521,

所以ξ的分布列为

ξ0123

P1843141528521

所以Eξ=0×184+1×314+2×1528+3×521=2.

18．解：(1)随机变量ξ可取的值为2,3,4,P(ξ=2)=C12C13C12C15C14=35;

P(ξ=3)=A22C13+A23C12C15C14C13=310;

P(ξ=4)=A33C12C15C14C13C12=110;

得随机变量ξ的概率分布律为：

x234

P(ξ=x)35310110

(2)随机变量ξ的数学期望为：Eξ=2・35+3・310+4・110=52；

随机变量ξ的方差为：Dξ=(2－2.5)2・35+(3－2.5)2・310+(4－2.5)2・110=920

19．解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为P=12，所以正面向上的次数为奇数次的概率为

P1=P15(1)+P15(3)+…+P15(15)

=C115(12)1(12)14+C315(12)3(12)12+…+C1515(12)5

=12 ，故P2=1－P1=12

（Ⅱ）因为P1=C115p1(1－p)14+C315p3(1－p)12+…+C1515p15，

P2=C015p0(1－p)15+C215p2(1－p)13+…+C1415p14(1－p)1

则P2－P1=C015p0(1－p)15－C115p1(1－p)14+C215p2(1－p)13-…-C1515p15

=［(1－p)－p］15=(1－2p)15，

而0P1

20．解：（1）记“至少一名甲班志愿者被分到后勤组”为事件A，

则A的对立事件为“没有甲班志愿者被分到后勤组”.

设甲班志愿者有x个，1≤x

则P（A）=1-C26-xC26,

所以1-C26-xC26=45,

解得x=3，或x=8(舍).

答：来自甲班的志愿者有3人，来自乙班的志愿者3人.

（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2

P（X=0）=C23C26=15,

P(X=1)=C13C13C26=35,

P(X=2)=C23C26=15.

所以随机变量X的分布列为

x012

P153515

数学期望E（X）=0×15+1×35+2×15=1,

所以所求数学期望E（X）=1.

21．解：（1）甲经过A2，可分为两步：

第一步，甲从M经过A2的方法数为C13种；第二步，甲从A2到N的方法数为C13种；

所以甲经过A2到达N的方法数为(C13)2=9种.

（2）由（1）知，甲经过A2的方法数为(C13)2；乙经过A2的方法数也为(C13)2.

所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为(C13)4＝81；

甲、乙两人在A2处相遇的概率为P=(C13)4C36C36=81400.

（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在Ai(i=1,2,3,4)相遇的走法有(Ci－13)4种方法；所以：(C03)4+(C13)4+(C23)4+(C33)4＝164

故甲、乙两人相遇的概率P=164400=41100.

22．解：（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

P(X=0)=1C48=170,

P(X=1)=C14C34C48=835,

P(X=2)=C24C24C48=1835,

P(X=3)=C34C14C48=835,

P(X=4)=1C48=170.

即X的分布列为

X的数学期望为

E(X)=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.

（Ⅱ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x甲=18(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

S甲=18(32+(－3)2+(－10)2+42+(－12)2+02+122+62)=57.25.

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

x乙=18(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

S2乙=18(72+(－9)2+02+62+(－4)2+112+(－12)2+12)=56.

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.