圆的双解问题大盘点

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一、弦所对的圆周角问题

例1（2007内江）已知BC是半径为2cm的圆内的一条弦，点A为圆上除点B，C外任意一点，若BC＝2cm，则∠BAC的度数为．

解析：圆中一条弦所对的圆周角有两种情况，一种情况是顶点A在优弧上，第二种情况是顶点A在劣弧上．如图1所示，连结OB，OC，易知∠BOC＝120，因此∠BDC＝60，∠A＝(36020＝120，故答案020

二、有公共端点的两弦的夹角问题

例2（2007牡丹江）已知半径为5的O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数是（）．

A．15B．210C．1055 D．2100

解析：如图2,连结OA,OB,OC，易知AOB为直角三角形，AOC为等边三角形，则∠BAO＝45，∠CAO＝60，因此，在―①中，∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝105；在―②中， ∠BAC＝∠CAO－∠BAO ＝15，故答案选C．

三、弓形的高的问题

例3（2006菏泽）如图3，底面半径为5dm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8dm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）．

Ａ．2dm Ｂ．3dmＣ．2dm或3dmＤ． 2dm或8dm

解析：我们将此实际问题转化为数学问题来分析，画出如图4的平面图形，即半径为5的O中， 弦AB＝8，求弦AB下方的弓形的高．如图①，②的两种图形都符合要求．过O作直径CDAB交O于C，D两点，垂足为E，则DE即为弓形的高．连结OA，可求得OE=3，在图①中DE＝OE+OD＝5+3＝8，图②中DE＝OD－OE＝5－3＝2，故答案为D．

四、两条平行弦间的距离问题

例4(2007湖南怀化)圆的半径为13cm，两弦AB//CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则两弦AB，CD的距离是（）．

Ａ．7cmＢ．17cm Ｃ．12cm Ｄ．7cm或17cm

解析：圆内两条平行弦的位置有两种可能：①两弦在圆心同侧； ②两弦在圆心异侧．因此我们可以画出如图5―①，5―②的图形，结合垂径定理与勾股定理易得OM＝5，ON＝12．图①中MN＝7，图2中MN＝17，故答案为D．

五、点与圆的位置关系问题

例5（2007甘肃白银）一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为 ( )．

A．16cm或6cmB．3cm或8cmC．3cmD．8cm

解析：由题意，该点不可能在圆上，因此有两种可能：①若该点在圆内，则半径为（11+5）＝8；②若该点在圆外，则半径为（11－5）＝3，故答案选B．

六、两圆相切的问题

例6(2008宁夏)已知O1和O2相切，两圆的圆心距为9cm，O1的半径为4cm，则O2的半径为（ ）．

A．5cmB.13cm C.9cm 或13cm D.5cm 或13cm

解析：两圆相切，有两种情况：①若两圆外切，圆心距等于两半径之和，此时O2的半径为5；②若两圆内切， 圆心距等于两半径之差，此O2的半径为13．故答案选D．

七、相交两圆的公共弦问题

例7（2007山东泰安）半径分别为13和15的两圆相交，且公共弦长为24，则两圆的圆心距为（）．

A．或14Ｂ．或4 Ｃ．14 Ｄ．4或14

解析：两圆相交的问题，也要注意两个圆心与公共弦的位置关系.如图6，两圆心可能在公共弦的两侧，也可能在公共弦的同侧，请同学们根据图6所示自己计算两圆的圆心距.此题答案为D．

八、圆的内接三角形问题

例8已知ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC＝2，则 ∠A的度数为（）．

Ａ．30O Ｂ．60OＣ．120O Ｄ．60O 或120O

解析：由于思维定势可能会认为ABC是锐角三角形，而忽视ABC为钝角三角形的情形.实际上，满足条件的圆内接三角形有两个，如图7所示,当∠A是锐角时等于60O；当∠A是钝角时等于120O．

以上题目提醒我们，与圆有关的双解问题很常见，在处理与此有关的习题尤其是无图题时，一定要周密思考，慎重处理, 避免出现漏解的情况．

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