探究用方差描述数据的离散程度

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你认为哪个班级的学生考得好些？

探究一：求甲、乙两班的平均分.

甲=80，乙=80，甲=乙.

探究二：求甲、乙两班的极差.

甲班的最高分是100分，最低分是60分.甲班的极差是=100-60=40.

乙班的最高分是100分，最低分是60分.乙班的极差是=100-60=40.

归纳：从探究一和探究二可以看出，两班的平均分与极差都相同，无法判别两班成绩的高低.

探究三：将甲、乙两班的成绩填入下表.

从表中可以看出，甲班的数据比较集中在平均数附近波动，乙班的数据与平均数的偏差比较大.

怎样用一个量来描述这两组数据偏离平均数的大小呢？

探究四：在下表中填写各数与平均数的差（x′表示与平均数的差）.

从上面的探究六和探究七可以看出，把这些差的绝对值相加或将这些差的平方相加可以区分和比较这两组数据.

从上面的探究过程可以理解下列问题：

1. 为什么不可以用各个数据与其平均数的差的和来衡量这组数据的波动大小呢？

答：因为正负偏差会相互抵消，所以它们的和不能体现数据的波动情况.

2. 为了防止正、负偏差的相互抵消，为什么对各数据与其平均数的差不取其绝对值，而将其平方呢？

答：这是因为含有绝对值的式子不便于运算，且在衡量一组数据波动大小的“能力”上，方差、标准差更强些.

3. 方差使用的前提是什么？

答：方差的作用是用来比较两组数据的波动大小的，值得注意的是，在实际情境中，只有在数据的平均数相等或比较接近时，才能用这种方法，否则一般是不能用方差比较数据的波动大小的.

4. 方差是越小越好吗？

答：一般而言，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，因此有同学认为在实际生产生活中方差越小越好，这种观点是片面的. 现举例说明.

根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：

（1） 考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为_______的成绩好些；

（2） 计算出S2 B的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；

（3） 考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由.

（1） 从表中可以看出两人平均数相同，但B完全符合要求的个数多，故B的成绩好.

（3） 从图中折线走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差小，而B则相反，所以预测A的潜力大，可选派去参赛.

【评析】从本例可以看出，在实际生活中考查一个研究对象时，并不是仅考虑波动大小，而应从多角度综合考虑.