“转化”,寻找解题突破口
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关于一元二次方程两个根的非对称式的求值问题,关键在于能否将新问题转化为熟悉的问题，把非对称式转化为对称式或已知式.在这种思想的指导下，我们就能发现几种新颖独特又行之有效的转化方法.下面以一道数学中考试题为例，对此加以分析.
问题（2013年,南充市数学中考试题）如果α，β是一元二次方程x2+3x－1=0的两个根，那么α2+2α-β的值是.
一、降次转化
分析：“降次”是一种常用的数学思想方法.该问题所求的式子是二次多项式，可以设法将其“降次”为“一次”或“零次”，就能找到解决问题的思路.由方程根的定义,可得
α2+3α-1=0.即得α2=1-3α.
α2+2α-β=1-3α+2α-β=1-（α+β）=1+3=4.
二、升次转化
分析：升次转化相对于“降次”是一种逆向思维的表现形式，它常常不被人们所重视，但在解决问题时常能够“另辟蹊径”.
由方程根的定义,可得α2+3α-1=0,
α=1－α23，同理β=1－β23.
所以α2+2α-β
=3α2+2(1－α2)－(1－β2)3
=α2+β2+13=(α+β)2－2αβ+13=4.
三、换元转化
分析：换元法是一种重要的数学思想方法，在解决很多数学问题时都能发挥巨大作用.同样，利用换元法也能将非对称式转化为对称式.以下给出两种换元方法：
（1）和差换元：设α=m+n,β=m-n.由α+β=-3,所以2m=-3，即m=-32,
又αβ=m2-n2=-1，故n2=134.
α2+2α-β=(m+n)2+2(m+n)-(m-n)
=m2+n2+2mn+m+3n
=m2+n2-3n+m+3n
=m2+n2+m
=94+134-32=4.
(2)对偶换元：设A=α2+2α-β,B=β2+2β-α.则有
A+B=(α+β)2-2αβ+α+β
=9+2-3=8，
A-B=α2-β2+3(α-β)
=(α-β)(α+β+3)=0.
两式相加,得2A=8，
所以α2+2α-β=4.
四、常值代换
分析：常值代换相对于一般换元法也是一种逆向思维方式.一般换元法思路较为明显，常值代换则需要对数和式进行深层次观察和分析，但常常能够更快地达到目的.
由α2+3α-1=0,可得1=α2+3α.
α2+2α-β=α2+2α-（α2+3α）β
=α2+2α+α+3
=1+3=4.
五、拆项转化
分析：拆项转化就是围绕“将未知式转化为定义式或对称式”这个目标，将未知式中的某些项拆分成两项或更多项，达到转化目的.拆项方法比较灵活，一般有多种拆法.下面给出两种拆法：
α2+2α-β
=α2+3α-α-β
=1-（α+β）
=4.
α2+2α-β
=α2+2α+2β-3β
=（1-3α）+2（α+β）-3β
=1-3（α+β）+2×（-3）
=4.
六、添项转化
分析：添项转化也是紧紧围绕“将未知式转化为定义式或对称式”这个目标，在未知式中增添某些项达到转化目的.添项方法也比较灵活，一般有多种添法.下面给出多种添法：
（1）α2+2α-β
=α2+β2+2α-β2-β
=(α+β)2-2αβ+2α-β2-β
=9+2+2（α+β）-（β2+3β）
=4.
（2）α2+2α-β
=α2+2α+（β2+2β）-β2-3β
=（α+β）2-2αβ+2（α+β）-（β2+3β）
=4.
（3）α2+2α-β
=α2+2α-β+（β2+2β-α）-（β2+2β-α）
=（α+β）2-2αβ-（β2+3β）+2(α+β)
=9+2-1-6
=4.
（4）α2+2α-β
=α2+2α-β-α+α
=（α2+3α）-（α+β）
=1+3=4.
（5）α2+2α-β
=α2+2α-β+（2β-α）-（2β-α）
=（α2+3α）+（α+β）-（2β+2α）
=（α2+3α）-（α+β）
=1+3=4.
七、减元转化
分析：代入法消元、加减法消元是我们解方程组时经常使用的一种数学方法.事实上，消元思想作为一种数学思想，不仅能够运用于解方程组，而且在数学其他方面也有着广泛的应用.例如，非对称式通过消元（减少参与运算的字母个数）转化为对称式或定义式.下面给出四种转化方法：
（1）由题意,得α+β=-3，
从而β=-3-α.
α2+2α-β
=α2+2α-（-3-α）
=α2+3α+3=4.
（2）由题意,得α+β=-3，
从而α=-3-β.
α2+2α-β
=（-3-β）2+2（-3-β）-β
=β2+3β+3=4.
（3）由题意,得αβ=-1，
从而β=-1α.
α2+2α-β
=α2+2α+1α
=α2+3α-（α-1α）
=1-（-3）=4.
说明:由方程根的定义，可得α2+3α-1=0，故α-1α=-3.
（4）由题意，得αβ=-1，
从而α=-1β.
α2+2α-β
=1β2-2β-β
=1β2-3β-（β-1β）
=1－3ββ2-（-3）
=β2β2+3=4.
总而言之，求两根非对称式值的思路是灵活多样的.这诸多的思路都突出了“利用条件把非对称式转化为对称式或者已知式”的共性.抓住了这个共性，我们在解决求两根非对称式值问题时，就会有新的发现.