黑胶唱机唱头位置和角度调整数学原理探析

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摘要：数学源于生活，又广泛应用于生活。本文通过对黑胶唱机唱头位置和角度的调整中的数学原理探析，运用数学知识解决和处理实际生活中的问题，体现 “数学与现实生活”的联系，激发学生学习数学的兴趣，从而培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和素养。

关键词：黑胶；唱头；位置；角度

数学是一门高度抽象的科学，对一般学生来说，也是比较难的，怎样激发学生的学习兴趣，引导学生刻苦钻研，学好数学，是我一直在思考的问题。我想，教师如果能从生活中找到一些问题，用数学的方法巧妙的加以解决，让学生看到数学的“有用”之处，而不仅仅是一堆抽象的符号，无疑大大有助于提升学生的学习兴趣。

近几年来，黑胶唱机、唱片大有复兴之势，它那美妙的声音是迷人的，其魅力难以抵挡，但是黑胶使用起来远不如CD机方便，需要调整的地方很多：唱盘水平、避震、唱臂水平、唱头位置、唱头角度等等一大堆，其中，唱头位置和角度的调整是最关键也是最麻烦的，这其中就需要用到几何和微分等数学知识。

请看图1：黑胶唱机示意图。

理想状态是：调整唱头在唱臂上的位置和角度，使唱针杆在唱片上的投影处处和圆形的音轨相切，以便在放音时能使唱针相对于音轨的运动和刻录时情况相近，但遗憾的是，只有唱臂长度等于无限长时，才能做到这一点，现实中唱臂的长度是有限的，聪明的工程师想到一个绝妙的方法解决这个问题，即唱臂的长度略大于唱臂旋转中心到唱盘的中心的距离， 唱头和唱臂（对于曲臂，指唱臂转轴和唱针针尖之间的连线）之间构成一个角度，这样唱头在唱片的放唱时，可以使放唱全程“大约”处处相切，即角θ=90度，角θ称为循迹角度，我们需要解决的问题是：如何调整唱头的位置和角度，使得循迹角度误差最小？

图1，R为任意位置唱片音轨的半径，对于黑胶唱片，其最小值（即最内圈）为57.5mm，

最大值（即最外圈）为145mm， 角为唱针与音轨相切时，唱针和唱臂关系角，D称为唱臂的超距，L为唱臂的长度， 为 ，在三角形PCS中，CS=R，PS=L，PC=L-D，应用余弦定理可得

，

因 ，得：

（1）

这就是唱头角度和位置关系的基本公式。

利用洛必达法则得

当 时， ，也就是说，唱针投影与音轨处处相切。

根据式（1）可以作出角α和半径R的函数关系图（图2）。

从图2中可以看出，从唱片的最内圈到最外圈，角度 是随音轨半径而变化的，并且角度 与音轨半径之间的变化关系与超距D的取值关系很大。在一定范围内，任取一个超距D，我们分别求出 、 、 时对应的 、 、

角，然后取角等于 与 、 之间大者的平均值，则循迹角θ的误差最小。

令 ，即

对自变量R求导数，得：

显然，在 处， ，得：

，即

（2）

将式（2）代入式（1）得：

（3）

对于最内圈， =57.5mm，代入式（1），得：

（4）

对于最外圈， =145mm代入式（1），得：

（5）

实际调整时：

当α1≥α2时， （6）

最大循迹角误差值 （7）

当α2≥α2时， （8）

最大循迹角误差 （9）

式（6）、（8）中的α就是对于任意超距D值，唱头和唱臂的最佳角度值，在此角度下，最大循迹角误差值θ最小，显然，α角、最大循迹角误差值θ与超距D是密切相关的。唱头的位置、角度分别由D、α两个参数控制。

既然循迹角的误差值与超距D是相关的，那么，对于长度为L的唱臂，D应该取多少，才能使循迹角误差最小呢？

考察不同D值下，R和α的函数曲线，我们可以看出，D值偏大时，最内圈角度 大于最外圈的 ；D值偏小时，最内圈角度 小于最外圈的 ，

根据这一变化规律，我们猜想：当D取值使得 = 时，对应的θ是否最小？我们先假定以上猜想成立。

根据上述思路，令 = ，由式（4）、（5）可得：

（10）

整理得 （11）

由于唱臂安装时，一般唱机上P点是固定的，即线段PC的长度是固定的，令PC的长度为L0（当然，不同的唱机有不同的L0）得 L=D+L0，代入式（11），整理可得

（12）

式（12）就是最佳超距值，在此超距下，循迹角误差最小，

将式L=L0+D以及式（12）代入式（3）可得：

（13）

将式L=L0+D和式（12）代入式（4），可得：

（14）

将式L=L0+D和式（12）代入式（5），可得：

（15）

试算可以验证，式（12）～（15）就是唱机给定L0条件下的最优解。根据式（12）～（15）得到的解，取α=（α1+α0）/2，相对应的循迹角误差θ=（α1-α0）/2。

需要说明的是，上述推导时，是假定当D取值使得α1=α2时，对应的θ最小，要从数学上严格证明这一假定是非常困难的，对于实际应用，却不需要如此严格，经试算，可以验证，上述假定是成立的，退一步说，即使不是最优解，也是可以接受的充分优化解，按照本文所述的方法和结论调整黑胶唱头的位置和角度，循迹角误差的精度是足够高的，可以满足使用要求的，这就是它的价值。

算例：对于黑胶唱臂，长度一般有9寸和12寸两种，我们以健伍黑胶唱机为例，其唱臂为9寸，经实测，L0=230mm，计算一下唱头的角度和位置的数值。

根据式（12）可得：

（16）

式（16）代入式（13）得：

， 度

式（16）代入式（14）、（15）得：

， 度

取

循迹角误差 θ=α1-α=1.2493。

“生活中处处有数学”这句话体现了数学知识在日常生活中的广泛应用。学习是为了应用，通过对黑胶唱机唱头位置和角度的调整中的数学原理探析，让学生在生活中感悟数学。因此，教师在教学中要注重培养学生联系生活实际、运用数学知识解决实际问题的意识和能力，体现数学的实用价值。■