函数的周期性与奇偶性

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函数的性质一直以来都是高考的一个重要考点。如何准确灵活地把握函数的性质，顺利地解答有关问题，是需要我们探索和研究的课题。笔者从函数的周期性和奇偶性方面入手进行了如下研究：

一、函数的周期性

一般地说，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使取定义域内的每一个x值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。理解周期性要注意以下几点：1.定义适合定义域中的每一个x值。2.并不是所有周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)=c，所有的正数都是它的周期，但没有最小值，故常数函数没有最小正周期。3.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(?资∈?篆+)也是周期。4.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或无下界。5.设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）= ③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），则函数y=f（x）是周期函数。

二、函数的奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数y=f（x）就叫做奇函数；如果对于函数（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数。理解奇偶性要注意以下几点：1.定义域必定关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2.奇偶性是研究函数在整个定义域内的函数值的对称问题。3.若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，反过来不一定成立，如：f（x）=0（-1

三、周期性与奇偶性的结合

周期性解决的问题是自变量相差常数（周期的倍数）时，对应的函数值相等；奇偶性解决的问题是自变量互为相反数时，函数值的关系。当求某一函数值时，可以先考虑一方面进行变化，如得不到结果，再从另一方面进行变化，从而解答相关问题。现举例如下：

例1：已知f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，且当 x∈（0，1）时，f（x）=2x-1 ，则f（log212）的值为 。

解析：3

f（log212） =f（log212-4）=f（4-log212）=24-log212-1=

评析：函数的周期为2，则自变量相差2的整数倍的函数值相等，但只给了（0,1）时的解析式，所以再利用偶函数性质，互为相反数的两个自变量对应的函数值相等，得出所要求的函数值。

例2：（2010?安徽卷）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）＝2 ，则f（3）-f（4）= （ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析：由周期性得f（3）=f（-2），再由奇函数得 f（-2）＝-f（2） f（3）=-f（2） 同理f（4）＝-f（1）f（3）-f（4）=f（1）-f（2）=1

评析：函数是奇函数可求互为相反数的两个自变量所对应的函数值，周期可得自变量相差5的倍数的函数值相等。只有两个性质灵活运用才能顺利解决问题。

练习：已知f（x）是定义在R上的以4为周期的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=lg（x+1）， 则有（ ）。A.f（-）>f（1）>f（） B.f（-）>f（）>f（1） C.f（1）>f（-）>f（）

D.f（）>f（1）>（-）B. （答案A）

例3：已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n，则n可能为（ ）A.0 B.1 C.3 D.5

解析：f （x）为奇函数且周期为T，f(0)=0 f(T)=f(-T)=0 又 f(-)=f(-+T)=f()=-f(f()=0, f(-)=0 f(x) 在 [-T,T]上至少有5个根。(答案D)

评析：1.奇函数定义域包含0，则f(0)=0。2.奇函数得出 f(-)=-f(),周期性得出 f(-)=-f() f()=0。此题通过两个性质的巧妙结合可以培养学生分析问题和解决问题的能力。

练习：若f(x)是R上周期为3的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内的解至少有（ ）。 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 (答案D )

例4：已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，并且x∈(0,1]时，f(x)=x2+1，则f(462)的值为（ ）。A.2 B.0 C.1 D.-1

解析：由奇函数得f(x)=-f(x)，由图象关于直线x=1对称得 f(-x)=f(2+x)f(2+x)=-f(x)T=4 f(462)=f(2)=f(0)=0

评析：函数既有奇偶性，又关于直线x=a(a≠0)对称，则函数必为周期函数，又奇函数f(0)=0，结合关于x=1对称，f(2)=f(0)=0 f(462)=0

练习:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x+1)+f(x)=3，当 x∈[0,1]时f(x)=2-x，则f(2011.5)= 。（答案1.5）

函数的周期性和奇偶性的结合自然巧妙，旨在考查学生理解定义和灵活运用所学知识的能力，是培养学生分析问题、解决问题的很好的题型。以上是我对函数周期性和奇偶性的一点认识，愿与各位同仁共同探讨。