函数学习中易混淆问题的探讨

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函数是高中数学中的重要概念之一，他几乎贯穿中学数学的全部内容，因此我们在学习过程中要对函数的概念和性质要引起足够的重视。在此，我利用对正误对比的方法说明函数的几个概念，希望对大家的学习有所帮助：

1.定义域与值域的问题

例1 函数f（2x-1）的定义域是[0，1]，求f（1-3x）的定义域。

错误 因为函数f（2x-1）的定义域是[0，1]所以0≦2x-1≦1，得12≦x≦1，

求得-2≦1-3x≦- 12 f（1-3x）的定义域是[-2，-12].

正确 f（2x-1）是f（u）和u=2x-1的复合，它的定义域是[0，1]，是指 0≦x≦1，于是 -1≦2x-1≦1

所以 函数的定义域是[-1，1].

令 -1≦1-3x≦1，得 0≦x≦23

故函数f（1-3x）的定义域是[0，23]。

2.对应法则

例3 若f（x+1）=2x2+1，求f（x-1）.

错误 因为 若f（x+1）=2x2+1，

所以 f（x-1）=2x2-1，.

正确 f（x+1）=2x2+1=2（x+1）2-4（x+1）+3

所以 f（x）=2x2-4x+3

于是 f（x-1）=2（x-1）2-4（x-1）+3

=2x2-8x+9.

也可：设t=x+1，则x=t-1，

代人 =2x2+1得

f（t）=2（t-1）2+1=2t2-4t+3

所以 f（x-1）=2（x-1）2-4（x-1）+3

=2x2-8x+9.

例4 若函数 f（x）=3x-2，求f-1（2x+1）.

错误 由f（x）=3x-2得

f（2x+1）=3（x+1）-2=6x+1，

令 y=6x+1，解出x=16y- -16

交换x，y的位置，得f-1（2x+1）=16x- -16

正确 由 由=3x-2，得

X=13f（x）+23，

所以 f-1（x）=13x+23，

从而 f-1（2x+1）=13（2x+1）+23

=23x+13.

3.奇偶性

例5 如果f（x）在（0，2）上是增函数，且关于x的函数y=f（x+2）是偶函数，那么下列结论中正确的是（ ）

（A） f（1）

（C） f（72）

错误 选A，B，C，D的都有，原因是对“关于x的函数 y=f（x+2）是偶函数”的理解发生偏差。

正确 由y=f（x+2）是偶函数，得

f（-x+2）=f（x+2）

所以函数f（x）的图像关于直线x=2对称，且f（1）=f（3），又因为f（x）在（0，2）上是增函数，所以函数f（x）在区间（2，4）上是减函数，则

f（52）

即 f（52）

4.对称性

例6 设函数 y=f（x）定义在实数集R上，则函数 y=f（x-1）与函数 y=f（1-x）的图像关于（ ）

（A） 直线y=1对称。 （B） 直线y=0 对称

（C） 直线x=o对称 （D）直线x=1对称

错误 用 （x+1）代替f（x-1）与f（1-x）中的x，可得f（x）=f（-x）。根据偶函数的定义及图像特征，对称轴方程是x=o，故选（C）

正确 函数 y=f（x-1）的图像是由函数y=f（x）的图像右移一个单位得到，函数

f（x-1）=f[-（x-1）]

是由函数y=f（-x）的图像右移一个单位得到，所以y=f（x-1）与函数 y=f（1-x）的图像关于 直线y=1对称。 故选（A）。