不等式易错题剖析
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇不等式易错题剖析范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
不等式是高考数学命题的重点内容，作为高中数学的一个重要的解题工具，涉及到高中数学的各个环节，考查的面非常广泛，考生在高考中稍不注意，就会出错。本文就通过一些常见的典型例题，分析容易出错的原因，从而帮助考生有效地避免出错，提高正确率。
一、 一元二次不等式的易错题
【例1】 已知函数y=(m2+4m－5)x2+4(1－m)x+3的图象都在x轴的上方，求实数m的取值范围.
错解 依题意，对x∈R,y>0恒成立，于是函数的图象开口方向向上，且图象与x轴无交点.故m2+4m－5>0,Δ=［4(1－m)］2－4•3(m2+4m－5)
解得1
即所求m的取值范围为1
错因分析 题设中的函数未必是二次函数，也就是说缺少对m2+4m－5是否为0的讨论。
正解 当m2+4m－5≠0时，同上述解答有1
若m2+4m－5=0时，则m=1或m=-5；
若m=1，则已知函数化为y=3，则对x∈R,y>0恒成立；
若m=-5，则已知函数化为y=24x+3，对x∈R,y>0不恒成立，故此情形舍去.
所以m的取值范围为1≤m
【例2】 已知集合A={x|x2－x－2≤0},B={x|a
错解 A={x|x2－x－2≤0}={x|－1≤x≤2},
若使A∩B=，需满足a>2或a+32或a2或a
错因分析 上面的解法错误原因在于忽视了集合A={x|－1≤x≤2}的两个端点值－1和2，其实当a=2时B={x|2
正解 A={x|x2－x－2≤0}={x|－1≤x≤2}，若使A∩B=Φ，需满足a≥2或a+3≤－1，解得a≥2或a≤－4，所以实数a的取值范围是a≥2或a≤－4.
二、 基本不等式的易错题
【例3】 已知两个正实数x,y，满足x+y=4，求1x+4y的最小值.
错解 由已知得4=x+y≥2xy,
xy≤4,1x+4y≥24xy=4xy≥2,
1x+4y最小值是2.
错因分析 上述解法中两次使用基本不等式，其中xy≤4等号成立必须满足x=y，而1x+4y≥24xy的等号成立时，必须有4x=y，因为均为正数，两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的。
正解 41x+4y=(x+y)1x+4y=5+4xy+yx≥9，
当且仅当4xy=yx且x+y=4，
即x=43,y=83时取等号，
1x+4y≥94,
即1x+4y最小值为94.
【例4】 设函数f(x)=1－1x,x>0.
(1) 证明:当01；
(2) 点P(x0,y0)(0
错解 (1) f(a)=f(b)，
1－1a=1－1b，
1+1a2－2a=1+1b2－2bb2－a2a2b2+2(a－b)ab=0(a－b)(2ab－a－b)a2b2=0，
2ab=a+b≥2ab，
ab≥1.
(2) 0
f′(x0)=－1x20(0
曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为：
y－y0=－1x20(x－x0)，
即y=－xx20+2－x0x0，
切线与x轴和y轴的正向的交点为
(x0(2－x0),0)和0,1x0(2－x0).
故所求面积表达式为A(x0)=12(2－x0)2.
错因分析 在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件。
正解 (1) 证明:因为f(x)=1－1x=1x－1,x∈
(0,1]，1－1x,x∈(1,+∞)，故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1,+∞)上是增函数．
由0
即1a+1b=22ab=a+b>2ab．
故ab>1，即ab>1．
(2) 0
f′(x0)=－1x20(0
曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为：
y－y0=－1x20(x－x0)，
即y=－xx20+2－x0x0，
切线与x轴和y轴的正向的交点为
(x0(2－x0),0)和0,1x0(2－x0).
故所求面积表达式为A(x0)=12(2－x0)2.
点拨 1. 证明不等式，要掌握不等式的基本证明方法，如分析法、综合法、放缩法、函数法、反证法、换元法等；
2. 不等式与数列、函数方程、导数等内容的综合证明题，难度较大，要把性质与不等式的基本证明方法相结合，灵活解题，这也体现了不等式的工具性，是高考命题的趋势。
牛刀小试
1. 设x∈(0,π)，则函数f(x)=sinx+4sinx的最小值是 ．
2. 设a≥0,b≥0,a2+b22=1，求a1+b2的最大值是 ．
3. 已知实数a,b满足等式12a=13b，下列五个关系式：
①0
④b
其中不可能成立的关系式有 个．
4. 若方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根均大于2，求实数m的取值范围.
【参考答案】
1. 5
2. 324 提示：a1+b2=2a•1+b22.
3. 2个
4. 设两根为x1,x2，则根据题意可得：
Δ≥0,(x1－2)+(x2－2)>0,(x1－2)•(x2－2)>0(m－2)2－4(5－m)≥0,2－m>4,5+m>0,
解得－5
（作者：何振华，江苏省海门市悦来中学）