“双绳”与“双杆”问题的分析

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力学问题中常涉及到“双绳”与“双杆”的问题。学生对这类问题普遍感到比较困难。分析其原因，是由于受力分析比较复杂，找不到解决问题的抓手。对于“双绳”与“双杆”，往往都是抽象成“轻绳”与“轻杆”模型，它是由各种实际情况中的杆和绳抽象出来的理想物理模型。作为这一模型，一般情况下，“轻”是指其质量可以忽略(相对于其它物体来说)，所受重力可以忽略。杆和绳往往是其形体在同一直线上且其长度是不发生变化的，绳中弹力只能沿绳收缩的方向，杆中的弹力方向比较复杂，由此导致这类模型在运动学和静力学中都有其特有的规律。本文对“双杆”和“双绳”的规律及其应用作一些简单的分析。

1 双绳的三类问题

1.1 双绳的平衡问题

题1 有三根长度皆为l=1.00m不可伸长的绝缘轻线，其中两根的一端固定在天花板上的O点，另一端分别拴有质量皆为m=1.00×10-2kg的带电小球A和B，它们的电量分别为-q和+q,q=1.00×10-7C。A、B之间用第三根线连接起来。空间中存在大小为E=1.00×106N/C的匀强电场，场强方向沿水平向右，平衡时A、B球的位置如图1所示。现将O、B之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B球最后会达到新的平衡位置。求最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比改变了多少。(不计两带电小球间相互作用的静电力)

分析与求解

解决此题的关键是：A、B球最后达到新的平衡所处的位置在哪儿？

由图2甲中虚线表示A、B球原来的平衡位置，实线表示烧断后重新达到平衡的位置，其中α、β分别表示细线OA、AB与竖直方向的夹角。

A球受力如图2乙所示：重力mg，竖直向下；电场力qE，水平向左；细线OA对A的拉力T1，方向如图；细线AB对A的拉力T2，方向如图。由平衡条件

B球受力如图2丙所示：重力mg，竖直向下；电场力qE，水平向右；细线AB对B的拉力T2，方向如图。由平衡条件

联立以上各式并代入数据，得

由上面的过程再进一步分析，如图3所示，若整体分析A、B球在水平方向的受力，处于平衡状态时，只有如图3的位置才会平衡，因此，也同样得出结论α=0。

与原来位置相比，A球的重力势能减少了

A球的电势能增加了

B球的电势能减少了

两种势能总和减少了

代入数据解得

点评 平衡问题的解决，可着眼于整体结构，通盘考虑所有题设条件，挖掘和发现整体结构中问题的关键点。整体法在许多情况下能简化解题过程，快速解决问题。

1.2 双绳的加速问题

题2 如图4所示，在一辆静止的汽车中，用细线悬挂两小球，当汽车在平直的公路上向左加速行驶时，两球的位置关系正确的是

分析与求解

对小球A、B进程受力分析，如图5所示，设小球A的质量为M，设小球B的质量为m，向左运动的加速度大小为a

图B是正确的。

点评 加速问题的解决，还是先要对物体进行正确的受力分析，列出方程，进行定量分析和讨论。

1.3 双绳的冲击问题

题3 质量分别为m1、m2和m3的三质点A、B和C，位于光滑水平桌面上，用已拉直的、不可伸长的柔软轻绳AB和BC连结，∠ABC＝π-α，α为一锐角，如图6所示。今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度。

分析与求解 设在外力冲量I作用的瞬间内，AB和BC两条细绳内出现的张力对其两端的质点作用的冲量大小分别为I1和I2，又以v表示质点A起动时的速度，显然v的方向应沿由A指向B的方向，对于质点A则有

点评 在解答物理问题时，往往会遇到两个或两个以上物体所组成的比较复杂的相互作用的系统，分析和解答这类问题的关键就是如何确定研究的对象。一般采用“隔离法”，就是将研究的对象从系统中隔离出来，对系统中的单个物体或局部进行分析、研究，去寻找已知量和未知量之间的关系。

2 双杆的三类问题

2.1 双杆的平衡问题

题4 如图7所示，两根光滑轻质弹性杆上端用绳捆扎，下端支于水平面A、B两点，挂重物后使两杆变成1/6圆弧，且A、B两点弧切线垂直水平面，即圆心在AB连线上，平衡时，杆与绳间摩擦因数至少多大？(设滑动摩擦力等于最大静摩擦力)

分析与求解 对每一根杆来说，相当于只受两个力的作用，绳对杆的作用力和地面对杆的作用力，这两个力必然大小相等，方向相反。如图乙所示，绳对杆的作用力其实是绳对杆的弹力和摩擦力的合力。可设C点为受力点，如图甲所示，两根轻质弹性杆对C点的作用力大小为F，由于两杆变成1/6圆弧，且A、B两点弧切线垂直水平面，即圆心在AB连线上，分析可得，平衡时：

点评 此题是一道物理竞赛题，题设的物理状态、物理过程、物理情景干扰因素多，牵涉的知识面宽，综合性强。并且摩擦因数大于1，正确分析出绳对杆的作用力其实是绳对杆的弹力和摩擦力的合力是关键。另外还要知道绳对杆的作用力和地面对杆的作用力，这两个力必然大小相等，方向相反。最后正确运用平衡知识，导出其函数关系，进行正确的计算。

2.2 双杆的加速问题

题5 如图8所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放。求当杆转到竖直位置时， A球和B球的速度vA和vB分别为多少？

分析与求解

设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把地球、两个小球、轻杆构成的系统作为研究对象，除重力以外的其他力对系统不做功，则系统的机械能守恒。

若取B的最低点为零重力势能参考平面，根据机械能守恒定律可得：

点评 此题是双杆的圆周运动问题，与绳不同的是，A球和B球在各个时刻对应的角速度是相同。当从水平位置无初速释放摆下后，除重力以外的其他力对系统不做功，故则系统的机械能守恒。但就端点A和端点B固定的小球而言，除重力做功外，其他力对小球也做功，则单个小球的机械能不守恒，这一点特别要注意。

2.3 双杆的连接问题

题6 如图9所示，一根均匀细杆AB，上端A处用绞链与天花板相连，下端由绞链与另一均匀细杆BC相连，两杆长度相等，且被限制在图示的竖直平面内运动，不计绞链处的摩擦。当在C端施加一个适当的外力(在纸面所表示的竖直平面内)时，可使两杆平衡在图示位置处，即两杆间夹角为90°，且C端处在A点的正下方。试说明：不管两杆的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？只需要说明道理而不要求计算。

分析与求解 以mAB和mBC分别表示杆AB和BC的质量，则若当mABmBC时，BC杆的质量可以忽略不计，则作用于BC杆C端的外力F必沿由C指向B的方向(即CB方向)。(F不可能沿BC方向，因为若沿BC方向，则AB杆将绕A点顺时针方向转动而不能平衡)

若当mBCmAB时，则AB杆的质量可以忽略不计，故AB杆作用于BC杆的力FA必沿BA方向(FA不能沿AB方向，否则BC杆将绕C点沿顺时针方向转动)，而BC杆的重力GBC作用于BC之中点，GBC与FA的作用线交于AB的中点D，如图6所示，此时杆BC受三力作用(GBC、FA和作用于C端的外力F)而平衡，由杆BC的平衡条件知，此三力必交汇于一点，故知F应沿CD方向。

以上讨论的是两种临界情况，由于实际情况应为0＜mAB / mBC＜∞，故满足题要求的作用于C端处的外力应介于上述两种临界情况之间，即作用于C端的外力的方向应在图10中的∠DCB范围之内，且这一区间为一开区间。

点评 此题实际上是两类平衡的结合，题设中“不管两杆的质量如何”这一条件实际上是质量范围的讨论问题即0＜mAB / mBC＜∞，又应用了平衡中的不平行的三力必交汇于一点的知识，此类习题难度较大，要求较高。它要求学生对物理概念、物理知识、物理定律的掌握与理解不能只停留在知识的表面上，而是要深层次的理解和掌握，搞清知识间内在的联系和区别，形成较强的物理学科能力。

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