七桥问题与一笔画

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18世纪时哥尼斯堡是位于普累格河上的一座风景秀丽的城市. 它今天属于俄罗斯加里宁格勒，以前是东普鲁士的土地. 哥尼斯堡有两个岛屿，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图1），岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像. 因此，城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步. 有一天，一个好奇的人提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点. 问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决. 利用普通数学知识就可以知道，每座桥都走一次，那这七座桥所有的走法一共有5 040种，而这么多情况要一一试验，将会是很大的工作量. 但是怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？这就是著名的“哥尼斯堡七桥问题”.

1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题. 欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？

1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题. 在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，并由此得到了如图2（a）这样的几何图形. 若我们分别用A、B、C、D四个点表示哥尼斯堡的四个区域（如图2（b）），这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复地画出此七条线的问题了. 欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”. 这种研究方法就是“数学模型方法”. 这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键. 经欧拉研究发现，图2不能一笔画出. 也就是说找不到不重复地经过七座桥的路线. 多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复地路线，根本就不存在. 一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！这是为什么呢？让我们来看几个一笔画的问题.

先让我们来了解三个新概念.

①有奇数条线相连的点叫奇点.（如图3）

②有偶数条线相连的点叫偶点.（如图4）

③一笔画：下笔后笔尖不能离开纸，每条线都只能画一次而不能重复.

图5-图8四个图形中，你能找出图5-图8的每个图形中奇点和偶点的个数吗？请你试一试其中哪些可以一笔画出？

【分析】图5中有6个偶点：A、B、C、D、E、F，0个奇点，可以一笔画成. 图6中有4个偶点：A、B、D、F，2个奇点：C、E，可以一笔画成. 图7中有2个偶点：A、C，2个奇点：B、D，可以一笔画成. 图8中有1个偶点：O，4个奇点：A、B、C、D，不能一笔画成. 再找几个图形试一试，你能发现什么规律吗？

【规律】

①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关. 也就是说，凡是图形中没有奇点的（奇点个数为0），可选任一个点做起点，且一笔画后可以回到出发点.

②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点.

在表示七桥问题的图2（b）中，现在我们来数一数，奇点的个数有几个？由此你明白七桥问题无解的道理了吗？

由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可以判断它是无法一笔画出来的 ，也就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！

如果在七桥问题中，允许你再架一座桥，能否不重复地走遍这八座桥？这座桥应该架在哪里？请你试一试！

1. 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如图9，你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？

2. 如图10是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？

3. 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点），如图11. 如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？