Merton模型对冲投资组合的存在性研究
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一、模型简介
dStSt-=(θ-λμ)dt+σdWt+d(∑Nti=1(eXt-1))(1)
这里θ,σ,λ,μ均为常数，其中θ为股票的期望收益率，σ为无跳情形下股票波动率，μ为股票价格的预期跳跃百分比，即μ=E(eX-1)，Nt为强度λ的Poisson过程，λ也即瞬时发生率。令
Yt=∑Nti=1(eXi-1)，Ji=eXi-1，i=1,2,……(2)
则Yt为复合Poisson过程，这里要求J1,J2,……独立同分布，Xi∈(-∞,+∞)，且与Poisson过程Nt独立，另外，模型（1）还要求Yt与布朗运动Wt相互独立。
命题1. 设dX(t)=u(t)dt+θ(t)dW(t)+v(t)dY(t)为半鞅，其中Yt=∑Nti=1Ji；u(t),θ(t)为Ft适应过程，v(t)为Ft可料过程。则
f(X(t))-f(X(0))=∫t0[f′(X(s-))u(s)+12f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0f′(X(s-))θ(s)・dW(s)+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)].
证明：设τ1＜τ2＜…＜τn＜…是N(t)的跳跃时间，则由半鞅It公式得
f(X(t))-f(X(0))=∫t0f′X(s-))dX(s)+12∫t0f″(X(s-))d＜X,X＞c(s)+∑0＜s≤t{f(X(s))-f(X(s-))-f′(X(s-))ΔX(s)}
令X(t)=A(t)+B(t)，使得
dA(t)=u(t)dt+θ(t)dW(t),dB(t)=v(t)dY(t)
则(t)=(t)+(t)=[A,A](t)+(t)
(t)=9t)=∫t0v2(s)d(s)
由于Yt=∑Nti=1Ji为有限变差半鞅，因此c=0
dc(s)=d[A,A]c(s)+v2(s)dc(s)=θ2(s)ds
f(X(t))-f(X(0))=∫t0f′(X(s-))dX(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∑N(t)i=1[f(X(τi))-f(X(τi-))]-∑N(t)i=1f′(X(τi-))[X(τi)-X(τi-]
=∫t0f′(X(s-)dX(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)-∫t0f′(X(s-))[X(s)-X(s-)]dN(s)]
=∫t0f′(X(s-))u(s)ds+∫t0f′(X(s-))θ(s)dW(s)+12∫t0f″(X(s-))θ2(s)ds+∫t0[f(X(s))-f(X(s-))]dN(s)
根据这个命题，我们可以求得股票价格过程St的表达式。事实上，由(1)可得
dlnSt=[(θ-λμ)-12σ2]dt+σdWt+lnStSt-dNt
lnStS0=[(θ-λμ)-12σ2]t+σWt+∑Nti=1Xi
因此St=S0exp{[θ-λμ)-12σ2]t-σWt}∏Nti=1eXi（3）
命题2.令Zm(t)=∏Nti=1Jmi，J1,J2,……独立同分布于J，且与强度为λ的Poisson过程Nt独立，则E[Zm(t)]=exp{-λt(1-E[Jm]}.
证明：E[Zm(t)]=∑∞n=0P(Nt=n)E[∏Nti=1Jmi|Nt=n]
=∑∞n=0P(Nt=n)E[∏ni=1Jmi]
=∑∞n=0(λt)nn!e-λt・（E[Jm])n
=e-λt∑∞n=0(λtE[Jm)]nn!
=e-λt・exp(λtE[Jm]
根据这个命题和公式(3)，我们可以得出
E(St)=S0exp{[(θ-λμ)-12σ2]t}E[eσWt]・E（∏Nti=1eXi)
=S0exp{[(θ-λμ)-12σ2]t}e12σ2t・eλμt=S0eθt
E(S2t)=S20exp{[(θ-λμ)-12σ2]2t}E[e2σWt]・E（∏Nti=1e2Xi)
=S20exp{[(θ-λμ)-12σ2]2t}e2σ2t・exp{-λt(1-E[e2X])}
=S20exp{2t(θ-λμ+12σ2)+λt(E[e2X]-1)}
Var(St)=E(S2t)-(E(St))2
=S20e2θt{exp(σ2t-2λμ+λtE[e2X]-λt)-1}
由此可以看出，股票价格期望与无关，也就是说，Merton(1976)模型股票价格期望在有跳和无跳的情况下都相等，然而其方差却有变化。
到目前为止，关于欧式看涨期权定价的著名的Black-Scholes方程已经有许多推导方法。然而，所有这些推导方法实质上可以分为两类：Call（表示看涨期权）复制方法和Bond（表示短期债券）复制方法。在Black-Scholes情形中，可以用这两类方法分别构造自融资投资组合t=αtSt+βtBt和对冲投资组合（表示无风险自融资投资组合），∏t=atSt-btC然后运用无套利原理，最终推导出Black-Scholes公式。
对于Merton(1976)模型，为了探讨是否存在一个相似的投资组合，按完全对冲的方法，可以推导出期权价格满足的方程为
Ct+σ22S22CS2+(r-λμ)SCS-rC+λE[C(SeX,t)-C(S,t)]=0.(4)
Merton以股票S，期权C和债券B的线性组合构造了投资组合，然后用反证法给出了否定的答案。另外，当标的资产是跳跃的时候，用一种期权，进行完全无风险对冲是不可能的。
命题3. 设Yt=∑Nti=1Ji为一复合Poisson过程，J1,J2,……独立同分布，且与强度为λ的Poisson过程Nt独立，那么Yt有平稳独立增量。并且，若EJ1=μ，则Mt=∑Nti=1Ji-λμt是Ft鞅。
下面我们来证明第二个结论：
要证Mt=∑Nti=1Ji-λμt是鞅，只需证对任意s＜t，有
E(∑Nti=1Ji-λμt|Fs)=∑Nsi=1Ji-λμs这里Fs=σ{Yt,t≤s}
即证E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=λμ(t-s)
然而E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji)=E(∑Nti=1Ji)-E(∑Nsi=1Ji
可知，E(∑Nti=1Ji-∑Nsi=1Ji|Fs)=λμ(t-s)
因此Mt=∑Nti=1Ji-λμt是Ft鞅。
接下来仅用Call复制方法来证明不存在这样的自融资投资组合（Bond复制方法与此类似）使得公式（4）成立。由于股票价格的跳跃点为可列个间断点，因此以概率为1，投资者选择对冲的时刻点是股票价格的连续点。在股票价格的某一连续时刻t，即St=St-，我们假设存在自融资投资组合t=αtSt+βtBt=αtSt-+βtBt，令C=C(St,t)，在T时刻有T=CT.
由于市场无套利，故对任意的t，有
t=αtSt+βtBt=C(St,t)(5)
记S=St-，由It公式得
dt=αtdSt+rβtBtdt=αtS[(θ-λμ)dt-σδWt+d(∑Nti=1(eXi-1))]+r(C-αtS)dt
=rCdt+αtS(θ-r)dt+αtSσdWt+αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]
另一方面，由命题1得
dC=Ctdt+[CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2]dt+CSσSdWt+［C(St,t)-C(S,t)］dNt
而由(3)式可得
dC=[Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2]dt+CSσSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi,t)-C(S,t)])=(Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2+λE[C(SX,t)-C(S,t)]dt
另外
(Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2+λE[C(SeX,t)-C(S,t)])dt+CSσSdWt+d(∑Nti=1[C(SXi,t)-C(S,t)])-λE[C(SeX,t)-C(S,t)]dt=rCdt+αtS(θ-r)dt+αtσSdWt+αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]
整理得
{Ct+CS(θ-λμ)S+122CS2σ2S2-rC+λE[C(SeX,t)-C(S,t)-αtS(θ-r)]}dt+(CS-αt)σSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi,t)-C(S,t)])-λE[C(SeX,t)-C(S,t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]=0(6)
根据命题3，(6)式中
Ut∑Nti=1[C(SeXi,t)-C(S,t)]-λE[C(SeX,t)-C(S,t)]t
Vt∑Nti=1(eXi-1)-λμt
均为Ft鞅，另外布朗运动Wt也是Ft鞅。因此，要使(6)式无风险，则必须有
(CS-αt)σSdWt+d(∑Nti=1[C(SeXi,t)-C(S,t)])-λE[C(SeX,t)-C(S,t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]0
进一步有
(CS-αt)σSdWt=0αt=CS(7)
并且跳跃风险项
d(∑Nti=1[C(SeXi,t)-C(S,t)])-λE[C(SeX,t)-C(S,t)]dt-αtS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]0
此时，（6）式变为
{Ct+CS(r-λμ)S+122CS2σ2S2-rC+λE[C(SeX,t)-C(S,t)]}dt+d(∑Nti=1[C(SeXi,t)-C(S,t)])-λE[C(SeX,t)-C(S,t)]dt-CSS[d(∑Nii=1(eXi-1))-λμdt]=0
然而，跳跃风险项
d(∑Nti=1[C(SeXi,t)-C(S,t)]-λE[C(SeX,t)-C(S,t)]dt-CSS[d(∑Nti=1(eXi-1))-λμdt]0
不成立。因此，(6)式的风险无法消除。这样自融资投资组合t=αtSt+βtBt不存在。也就是说，不论是用Call复制方法还是用Bond复制方法，采用完全对冲的方法,是无法得出公式(4)的。换言之，该模型不存在对冲投资组合。
三、关于Merton(1976)方程的解
Merton(1976)证明该模型期权价格满足的方程(7)的解为
C（S，t)=∑∞n=0exp(-λτ)(λτ)nn!En{W[SYnexp(-λμτ),τ;K,σ2,r]}(8)
事实上，由(11)式知，Merton(1976)模型与标准Black-Scholes模型有许多相同的性质。比如说，它们对S,K,σ2,r有相同的单调性。由于该模型的重要性，它后来又派生出多种带跳金融模型，如近年来的双指数跳模型。由于篇幅等原因，我就不在这里赘述了。
(作者单位：南昌大学数学系)
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