图形旋转面面观

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图形的旋转是几何图形运动中的重要变换，许多问题可以通过旋转使原本分散的、互不联系的条件有联系，从而找到解决问题的突破口，因此，图形的旋转是初中数学的重要内容. 下面我们就从“知识的生成与知识的应用”两大方面谈一谈图形的旋转与初中其他知识点的联系.

旋转与平移

1. 概念类比

平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种运动叫平移. 而旋转的概念为：将一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度，图形的这种运动叫做旋转.

平移的二要素为平移的方向和平移的距离，而旋转却有三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

2. 性质类比

平移的性质：①平移前、后的图形全等；②对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等；③连结对应点的线段长度等于平移的距离.

旋转的性质：①旋转前、后的图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等；③对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

3. 运用

题1？荩 如图1所示，点D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，如果将ABD绕点A按逆时针方向旋转到ACD′的位置，则∠ADD′的度数是____.（45°. 提示：根据旋转的定义）旋转与平面几何

这类问题主要考查旋转的性质以及旋转前后图形之间的关系，解决这类问题关键要抓住图形旋转的特征，关注相等的角和线段，以及与其他变换的组合.

1. 求角度和线段长度

题2？荩 把一副三角板如图2放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7. 把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到DCE（如图3所示），这时AB与CD交于点O，且与DE交于点F. （1）求∠OFE的度数. （2）求线段AD的长.

思路 （1）根据旋转的方向和定义，我们知道∠BCE=15°，而∠E=90°，所以∠BGF=∠CGE=75°. 又∠B=45°，所以可求得∠OFE=∠B+∠BGF=120°.

（2）由（1）的结论，易知∠DFO=60°，而∠CDE=30°，所以∠COB=90°. 因为AC=BC，AB=6，所以OA=OB=3. 同时容易求得CO=AB=3. 而CD=7，所以OD=CD-OC=4. 在RtADO中运用勾股定理可求得AD=5.

2. 求弧长

图形的旋转就是把某个图形绕着某一定点转动一个角度，其间，图形上的点所经过的路径可以理解为圆中的弧，旋转中心即为圆心，所以题目中经常借图形的旋转来求弧长.

题3？荩 如图4所示，一块含有30°角的三角板ABC在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，若BC的长为15 cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为多少？

思路 由题意知点C是旋转中心，点A从开始到结束所经过的路径是以点C为圆心，CA长为半径的一段圆弧，接下来求出CA长和∠ACA′的度数即可解决问题. 在RtABC中，因为∠A=30°，BC=15 cm，所以∠ACB=60°，CA=30 cm. 所以∠ACA′=120°. 根据弧长公式可求得所要求的路径长为=20π cm.