非线性\分形与期锌市场价格

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摘要：在非线性角度下的实务中，研究较多的是股票市场。本文把非线性理念引入期锌市场，运用R/S分析法对期锌市场进行了实证，研究发现：期锌市场的Hurst指数为0.6183,其价格收益率序列是分维时间序列，具有分形结构，维数为1.6174。期锌市场的平均周期长度为176天，具有强持续性和相关性。关联系数为19.47%，远远大于国外相关市场。在风险方面，期锌市场的风险比期铜市场的要小，而比股票市场的风险要大。

关键词：非线性；分形；Hurst指数；关联系数；期锌市场

Nonlinear Concept , Fractal Theory and Zinc Markets Prices

WEN Xian-ming, ZHOU Xian-jun，HE Zheng-chu

(School of Economics and Management，Changsha University of Science & Technology; Changsha，Hunan410114，China)

Abstract: In the practice of nonlinear angle, the research on the stock market is common. The paper introduced the nonlinear concept into the zinc period market with the way of R/S analysis to analyze it. It found: the period of market Hurst index of zinc is 0.618282, its price is the sequence of yield, the fractal dimension of time sequence with fractal structure, dimension for 1.6174. The average period of zinc market period length for 176 days, with strong endurance and correlation. Correlation coefficient for 19.47%, than foreign related market. In the period of market risk and risk of zinc than copper market, rather than the risk of stock market.

Keywords: Nonlinear; Fractal; Hurst index; Correlation coefficient; Zinc Markets

1 引言

建立在线性变化和均衡观点基础上诸如资产选择理论、CAPM等传统的资本市场定价理论，对于价格的决定和变化的分析主要从几个前提出发：一是EHM前提，即认为是市场是有效的。二是市场是均衡的，价格应等于其内在价值。三是投资者是理性的。四是价格变动服从正态分布，呈随机游走形态。但现实却并不以此为然，越来越多的现象表明，传统理论所描述的并不能完全呈现价格的变动。最突出的例子是1987年10月黑色星期一的美国股市的剧跌，人们动摇了对经典理论的信心。令人欣慰的是，近年来非线性科学所取得的重大成果为经济学家提供了新的理论和方法。它突破了传统的线性思维定式，将市场看成是一个非线性系统，该系统是适应性的、复杂的和交互作用的，对价格的行为提供了另一种解释。资本市场价格的大幅波动以及某些经济时间序列的高度自相关性清楚地表现为非线性效应。分形市场理论是一个很先进的金融市场解释理论，由于在数学工具方面的限制，它在资本市场的应用还不是很广泛，但是它解释清楚了当今资本市场存在的各种现象，而这些现象却无法由原来的成熟的市场理论来解释清楚。在这样的背景下，借鉴这种先进的理论来解释中国资本市场的现象显得很有意义。

本文将分形理念运用到期锌时序分析，目的在于通过实证研究来确定期锌收益序列具有分形特征，并在此基础探索分形形成的本质原因，为金融资产波动的识别和市场风险的防范提供更加有力的支持。

2 文献综述

1970年Fama[1]提出了有效市场假说,这一经典的金融理论得到普遍认可，至今仍是影响巨大，但随着时代的发展、社会的进步，人们对它提出了诸多质疑，比如线性、正态问题；理性投资者的假定问题；市场异常现象问题；有效市场悖论问题等等。

面对这些现实存在的问题，急需要新的理论出现，而此时分形理论运用而生。分形理论是一种非线性理论，描述的是自然界的复杂状态，起源于海岸线以及碎玻璃边缘等不规则形状的描述。分形理念提出来以后，很快运用到金融领域，为金融市场波动特性与结构的研究提供了新方法与理论框架。Mandelbrot 1960[2],1961[3],1963[4] 提出了用分形理论来描述股票收益率序列，因为他通过研究股票价格时间序列的波动规律，得出了股票价格收益率不符合正态分布的结论，Peters(1991[5],1992[6])运用R／S分析方法，从资本市场上的资产价格变化的正态性检验开始，指出分数布朗运动可以更加准确地刻画金融市场的波动，并且证明了资产价格序列或者收益率序列符合分形布朗运动，即有偏随机游走规律。通过R／S分析法研究了巴西股票市场波动性的长期记忆性的Jorge(2000)[7]发现巴西股票市场作为一个新兴的市场，该市场不是一个有效市场，其价格波动呈现出很强的长期相关性，具有明显的分形结构。Michael(2001)[8] 从股票收益率的日数据和月交易数据入手，运用R/S分析法研究了澳大利亚股票市场的非周期循环，他的研究发现，当用一阶自回归消除价格波动的短期效应以后，澳大利亚股票市场出现了长期记忆性，并且该市场的非线形动态周期分别是3年、6年和12年。

在波动性研究方面，Mulligan(2003)[9]运用R/S分析法、小波分析法、Roughness―Length：Variogram分析法和Power―Spectral分析法共五种分形分析法来研究了美国股票市场上高科技股的波动情况，他发现，H指数在(0

目前分形结构研究大多聚集在股票市场，而期货市场研究的文献还为数很少，特别是上市不久的期锌市场更加少有，因此进行这方面研究的意义重大。

3 锌期货市场的分形结构研究

3.1 分形的概念与特征

定义：组成部分以某种方式与整体相似的形体叫做分形[19]，是对“极不规则”与“极为破裂”的几何对象的统称。也就是说指形状不规则、内部存在无穷层次和自相似特征，无法用经典的欧式几何来描述的客体。它打破了整体与部分、简单与复杂、无序与有序、间断与连续之间的隔膜，找到了事物之间相互过渡的桥梁和媒介。为人们从部分中认知整体、从无序中认知有序、从有限认知无限提供了可能和依据。基于分形理论还不成熟，体系比较复杂，对分形进行精确定义还难以实现，所以，我们往往从它具有的主要特征着手进行细致地刻画。它具有以下主要特征：其一为自相似性。部分以某种方式与整体相联系，如果某种过程或结构的特征从不同的时间和空间视角来看都有相似特征，我们就认为具有自相似性。一般而言，自相似性的表现形式比较复杂，并不是所谓的放大一定倍数的部分之后与整体简单的无缝重合。其二是伸缩对称性或者标度不变性。标度不变性所指的是在分形图上，任意选择一个局部区域，放大后的图形与原来图形形态有着同样的面貌。所以，对于这种图形，不论放大还是缩小，它的形态，不规则性、复杂程度之类的特性都不会发生改变。通俗来讲，如果我们借助放大镜来观察分形结构图形，不管放大镜离图形距离有多近，我们所观察到的图形情形没有什么区别。从看到的图形，我们无法判断放大镜的倍数。这种标度不变性也许只适用在某个范围当中，我们通常把这个范围称之为无标度空间。其三是分形维，在分形理论中这是一个很重要的概念。刻画的是分形的非光滑、不规则和复杂的程度。它既可以是整数也可以为分数，描述的是客体规模的变化。比如立方体的维数是三维，平面的维数就是二维。当客体的维数为分数时，我们称之为分形维。Koch曲线就有这样的特征，既不是一维也不是二维的，而是处于二者之间的。(4)局部随机性与整体确定性共存。

3.2 重标极差（R/S）研究方法

分形结构的研究方法有多种，与其他的方法比较，R/S分析法的结果十分稳定，其所需的假设条件最少，又非常贴近时间序列的实际特性。更重要的是它能够从分形时间序列中区分出随机游走时间序列，并且还能够计算出具有分形时间序列内在的非周期循环长度。通过揭出时间序列序列非线性特征更加能够深刻地刻画出其内在统计规律。优势非常明显。英国水文专家赫斯特（Hurst）在研究尼罗河流量时发现，流量数据不符合布朗运动和高斯分布的特征，而是遵循一种“有偏随机游走”――趋势加噪声，也就是Mandelbrot所称的分数布朗运动。这里的趋势加噪声意味着变量之间关系是长程相关的，通俗的讲就是具有记忆性，某个时期之前发生的事件会影响着后来事件的走向。在1951年，为分析这种有偏的随机游走过程，Hurst提出了R/S分析法(Rescaled Range Analysis)。并给出了下面的关系式：

其中：R/S是重标极差值；c为常数；n为观测次数。在对数坐标下求斜率H, 即Hurst指数。然后利用下面的相关性表示现在对未来的影响：

其中：C为相关性的度量，0＜C≤1为正相关，-0.5≤C＜0为负相关，等于0不相关；H为Hurst指数。从上述式子可以看出，只要有重标极差及其对应的时间增量序列，就能运用回归方法计算出Hurst值，重标极差值的具体计算过程如下：

1) 记时间序列的长度为L，然后把L转换成对数比的长度N=L-1的时间序列：Ni =log(Li)/log(Li-1),i=1,2,…,L,即取序列的对数收益率。

2) 均分这个时间序列为n相邻的子区间A，从而A×n=N。标记每个子区间为Ia,a=1,2,..,A。在每个Ia中，每个元素记为N(k,a),k=1,2,…,n。长度为n的子区间的平均值被定义为：

上式中Ma为长度为n,包括在子区间Ia中Nt的均值。

3) 计算每个子区间Ia中元素N(k,a)对于均值的累积离差：

4) 极差被定义为每个子区间Ia，Xk,a的最大值与最小值的差：

5) 每个子区间Ia的样本标准差为：

6) 计算每个区间的重标极差:

7) 对于划分长度为n的平均重标极差值(R/S)定义如下：

8) 逐渐增加n值，重复计算每个n值下的重标极差(R/S)n，直到n=N/2，得到一系列的(n,(R/S)n)。

3.3 Hurst指数

根据统计学，如果一个序列是随机游走的，H值应当等于0.5，当不等于0.5，观测就不是独立的，而是具有“记忆”的。因此可以从Hurst不同的取值来判断时间序列的不同类型。

1、0≤H＜5，系统是反持续序列，即如果上一时期是增加，那么下一时期多半是减少的。这种反持续的强度取决于H与零的距离。这种时间序列具有比随机序列更加的突变性。

2、H=0.5，序列是随机的和不相关的。服从正态分布的特征。

3、0.5≤H＜1,时间序列具有持久性，又谓之分形时间序列。如果上一时期序列是增加的，那么下一时期序列很可能继续增加。H越靠近1，状态的持续性就越强，呈现出“长记忆”的形式。即今天的价格可能影响明天、后天。这种记忆的长度，用可以用下面公式来确定：

式(9)称之为平均循环长度，当时间序列为持续性时（H>0.5）时，Vn单调上升，当序列呈现随机游走(H=0.5)时，Vn近似常数，当Vn为反持续序列（H

4 期锌市场分形特征的实证研究

4.1 数据来源与统计描述

期货价格序列构造方式多种多样，本文取每日所有锌期货合约收盘价格按成交量加权平均数，作为当日期货价格的代表。这种方法可以实现统计口径的一致性和连续性，减轻主观因素对数据代表性的影响。方法如下：

其中，Pt为当日的期货价格；Pi为某月份合约的结算价格；ni为同月份合约的成交量；Pi和ni可以在相应的期货交易所公布的行情信息中获得，记为FP。根据上海期货交易所每日行情数据，按照公式（5）构造锌期货价格序列。期货价格数据取自上海期货交易所网站，样本区间为2007年3月26日起至2011年2月28日，共957个数据。为了刻画期锌价格波动的数量特征，对期锌价格的对数进行一阶差分。期锌对数收益序列的统计分析结果如下：

从上图1统计结果可以看出其峰度K值大于3，偏度S小于0，呈现左偏，J-B统计量拒绝服从高斯分布。图2的左图为QQ图也表明只是接近高斯分布，图2右图的核密度估计中尖峰和左厚尾现象更加直观。期锌价格波动呈现尖峰厚尾的特征。尖峰说明价格波动幅度大，厚尾说明投资者对信息的反应是密集的，尾越厚说明状态的持续性就越强。再来看期锌对数收益率序列图3：

图中时间序列出现多个异常的峰值，并且波动呈现明显的聚类现象，说明期锌收益率序列日波动具有突发性和显著性，波动性具有条件异方差现象。

4.2 R/S分析方法的实证数据结果

表中数据是方程log(R/S)n=log(c)+Hlog(n)中的各系数的数值、标准差和统计量。可以得出期锌价格的R/S线性回归方程：

从上表和用最小二乘法估计模型结果可以看出，t统计量和拟合尺度R2都比较理想，拟合效果相当好。Hurst指数为0.618282，大于0.5的随机游走值。说明期锌市场具有分形结构，具有较强的持续性和记忆性。从关联系数 =0.1947来看，说明期锌市场不是有效的市场，C值大于0，表明期锌市场是一个变量间存在正相关的非有效市场。

接着来看期锌的价格平均循环周期，期锌市场存在非周期循环，从下面的图4左图可以发现，期锌的log(R/S)值在3.03处（n=176）出现峰值后发生了突变。之后斜率明显变大。由此可知期锌具有一个176天的非周期循环。在此期间市场历史信息将对未来的价格走势产生影响。在此之后，市场历史信息的记忆将会消失。为了更加准确地考虑非周期循环点，考察V统计量的分布图，见图4右图，其初始转折点在（5.17，1.564），对应的周期是e5.17=176天，也就是说系统经过176天后将会失去对市场的历史信息的记忆。为了更好的观察时间周期，把两曲线放在同一图中，见图5，能更加清楚地看到在循环周期点的突变。

最后来看分形维数，在有效市场理论框架下，随机时间序列的分形维是1.5。当值位于1与1.5之间时，表明它比直线要粗糙，然而相对于随机游走而言要光滑。当值在1.5与2之间时，表明其比随机游走不整齐，反向走势的概率比较大。分形维1维是直线，2维是平面。Mandelbrot(1992)指出，Hurst指数的倒数就是序列的分形维数，因此，期锌价格序列的分形维数是1/0.618282=1.6174，位于1.5与2之间，是有偏的随机游走序列。

5 结论

本文运用R/S分析法，实证研究了期锌价格收益率序列的分形结构问题，通过以上分析，可以得出以下结论：

(1) 期锌市场价格收益率序列是分维时间序列，具有分形结构，Hurst指数高于0.5，价格走势服从分数布朗运动，呈现明显的长程相关性。这说明期锌市场是非有效的，是有偏的随机游走模式。体现的是非成熟市场的特征。这与锌期货上市时间不长的现实相符。有效市场假说认为人们在决策时会对信息反映迅速，波动呈现随机游走。而实际情况是，大多数人并不会对信息立刻作出反应，而且反应的速度、时间长短并不一样，呈现的是有偏的随机游走形式。

(2) 期锌的关联系数为19.47%，大于0。国外成熟市场的关联系数较低，一般在5%左右，然而，我国期锌市场的关联系数远远大于5%,在很大程度上初始信息影响着期锌价格的波动。现在的和过去的信息对价格的影响是明显的，因此对于投资者来说，研究历史信息对投资有利，为技术分析提供了依据。对于监管者而言，加强对信息的监管将有利于市场效率的提高。

(3) 通过研究log(R/S)-log(n)图，在n=176时发现显著的斜率变动情况，结合R/S分析法的V统计值，确认了期锌市场的平均周期长度为176天。“长期记忆特征”明显，而从发达国家地区市场的平均周期循环长度在50天左右的时间长度来看，期锌市场的时间长度明显偏长。这说明历史信息具有强相关性和持续特征，可以在较长的时间内对价格产生影响。 (4) H值衡量的是序列数据的参差不齐的程度，序列中噪音越少，H值就越高，表明具有更强的持续性和趋势性。运用在金融时间序列中，高H值表明风险就小，低H值表明风险就大。目前沪深股市Hurst指数分别是0.61和0.63，沪铜Hurst指数为0.59，可以看出期锌市场的风险比期铜市场的要小，而比股票市场的风险要大。

(5) 期锌价格序列在时间上是分形维的，分形维值为1.6174，该值与Hurst指数能够为决策者提供重要的参考价值。分维值不仅反映变量集合的复杂性和不规则性，而且还表示了变量随时间变化的激烈程度及运动轨迹的不平滑程度。一般而言，分维值越大，表明时间序列随时间变化的不规则程度越大，因而在实践中决策者可以利用变量变动曲线的分维值，预测变量的变化趋势。

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