重视数形结合思想 提高学生解题能力

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数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学，数和形是整个数学发展过程中的两大柱石。有了平面直角坐标系以后，平面上的点与有序实数对建立了一一对应关系，从“数”中去认识“形”，从“形”中去认识“数”，是数学思维的基本方法之一。根据数与形之间的关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，也就是数形结合。数形结和思想可使某些抽象的数学问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。在某些数学问题中，将问题的数量关系和空间形式结合起来考察，把数量关系转化为图形性质去讨论，或把图形性质转化为数量关系研究，有利找到解题途径，且解法简洁。

实现数形结合，常与一下内容有关：

一、实数与数轴上点的对应关系

例1 解不等式│x+1│+│x-1│

分析：此题若直接去绝对值符号，则的x≥1，-1≤x

解：设数轴上点P表示数x，点A表示1，点B表示-1，这样│x+1│，│x-1│分别表示数轴上的线段PA，PB之长，而线段AB长为2，这样直观地看到数轴上找不到那样的P点，使线段PB与PA之和小于1，故本题无解。

二、函数与图像的对应关系

例 2 若关于x 的方程x2+2kx+3k=0两根都在-1和3之间，求k的取值范围。

分析：令f（x）=x2+2kx+3k，其图像与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的解。

k）

解不等式组

得-1

三、曲线与方程的关系

例3 设F1F2是双曲线x2-y2=4的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F引∠F1QF2平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹方程__________________。

此题若设P的坐标为（x，y），再利用P由Q运动而运动，求出Q的坐标与P的坐标关系，而题中比较明显的关系式斜率的关系，QF2，QP，QF1成等角，F1PQP，但建立关系后化简很复杂，得不出结果。

若利用其几何性质，延长F1P交F2Q于H，则由QP平分∠F1QF2， F1PQP得P为F1H的中点，QH=QF1结合双曲线定义得：H F2=QF2-OH=QF2-QF1=2a。将H用P的坐标表示，即可求得。

四、几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数，三角函数等

例4 -i的立方根是__________________。

分析：如图，由于-i的立方根三等分同一圆周，所以-i的立方根为i，另外两个立方根是

±

求-i的立方根，可选用复数的代数形式，而根据复数开方的几何意义――等分圆周，可使过程更为简捷。

五、所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义

例5 已知a，b，c，x，y，z，∈R+，a+x=b+y=c+z=k，

求证：ay+bz+cx

分析：由a+x=b+y=c+z=k>0，想到构造边长为k的等边三角形，在三边分别采取a，x长，b，y长，c，z长由面积积即可得出：

证明：如图，构造边长为k的等边三角形ABC，在三边分别取

AD=x，BD=a，BE=y，CE=b，CF=z，FA=c。

由

得：

ay+bz+cx

数形结合是高考重点考查的数学思想之一。这种方法使用的主动性和熟练性，集中表现出学生的数学意识和潜质，在培养学生的应用能力时，应注意一下几个方面。

1.以图形增强代数概念的直观性。

2.利用有关函数草图解决代数问题。

3.利用解析几何当中公式解决有关问题。

4.数形结合，在结合图形计算时，所绘制图形必须定形，定性，定位，定量，这样才能正确地做出判断。

5.充分挖掘条件和结论中的隐含的几何意义，抓住“数”所包含的“形”的几何特征，是运用“数形结合”思想处理问题的关键，解析几何中的距离，斜率，截距，曲线参数方程的几何意义等都是“数”转化为“形”的几何模型，应注意它们的灵活运用。

数形结合思想方法应用广泛，它的运用可避免复杂计算，直观发现解题途径，在选择填空中更显其优越。所以，要做胸中有图，见数想图，以开拓思维视野。

数形结合思想方法不仅是中学生的数学能力，数学素质的主要标志之一，还是进一步学习高等数学和现代数学的基础，因此，加强培养训练具有极其重要的意义。