学好“实数”的几个要点

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“实数”是同学们进入初中以来数的第二次扩充，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题. 实数在中学数学中占有重要的地位，是后面学次根式、一元二次方程以及解直角三角形等知识的基础，要学好本章内容应注意以下几个要点.

一、 三对概念的区别与联系

1. 平方根与算术平方根

区别：①定义不同：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根. 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0；

②根的个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；

③表示方法不同：一非负数a的平方根表示为±■，而其算术平方根则表示为■.

④根的取值不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则是一正一负且互为相反数. 联系：一个非负数的算术平方根其实是这个数的平方根中的一个. 0的平方根也是0的算术平方根.

2. 平方根与立方根

区别：①符号表示不同：用符号表示平方根时，根指数2可以省略，而在立方根的表示中则不能省略，一个数的平方根表示为±■，而一个数的立方根表示为■；

②只有非负数才有平方根，而所有实数都有立方根；

③根的个数不同：正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个.

联系：都是开方运算，都与相应的乘方运算互为逆运算，0的平方根与立方根都是0.

3. 有理数与无理数

有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.

例1 在下列实数中，无理数是（ ）.

A. 2 B. 0 C. ■ D. ■

【分析】■是无限不循环小数，是无理数，2和0是整数，是有理数，■是分数，是有理数. 故选C.

【点评】在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一特点，常见的有：（1） 开方开不尽的数，如■，■等；（2） 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如■+1等；（3） 有特定结构的数，如0.101 001 000 1…. 判断一个数是不是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如■是有理数，而不是无理数. 所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.

二、 实数分类

按分类标准的不同，可以对实数进行不同的分类.

实数有理数正有理数0负有理数？摇无理数正无理数负无理数？摇

实数有理数整数正整数0负整数？摇

分数正分数负分数？摇？摇无理数正无理数负无理数？摇

实数正实数0负实数

三、 实数与数轴上点的关系

实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.

例2 如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）.

A. a

C. a>b D. ab>0

【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a、b的符号，再比较出其大小即可.

【解答】b在原点左侧，a在原点右侧，b0.

a>b，故A、B错误，C正确；a、b异号，ab

【点评】本题考查的是实数大小比较及数轴的特点，熟知数轴上各数的特点是解答此题的关键.

四、 能用有理数来估计无理数的大致范围

求无理数的近似值有两种估算的方法：（1） 利用夹逼的办法，用不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，根据精确度的要求可以连续进行得到无理数的越来越精确的近似值；（2） 直接用计算器求值，利用计算器的计算功能可提高估算的实效性.

例3 设a=■-1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）.

A. 1和2 B. 2和3

C. 3和4 D. 4和5

【分析】先对■进行估算，再确定■是在哪两个相邻的整数之间，然后计算■-1介于哪两个相邻的整数之间. 16

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算. 现实生活中经常需要估算，估算是我们应具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法.