第7讲 函数与方程、函数模型及其应用
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考情分析
本讲重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想. 题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大. 分值为5分.建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 在高考中分值为5～12分.
命题特点
结合这几年考题，这部分内容的命题主要有如下特点：（1）考查具体函数的零点的取值范围和零点个数，注意根的存在性原理的运用.（2）利用二分法求方程的近似解. （3）利用函数零点求解参数的取值范围，考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.（4）考查二次函数、指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.（5）合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.
1. 函数零点和零点个数判断：这类题型以小题为主，是数形结合的具体应用，抓住方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想.
例1 （1）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上的零点个数是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
（2）函数[f（x）=2x|log0.5x|-1]的零点个数为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析 （1）法一：函数y=2x与y=x3-2在R上都是增函数，
故f（x）=2x+x3-2在R上是增函数，
又f（0）=-1，f（1）=1，即f（0）・f（1）
故f（x）在（0，1）上有惟一零点.
法二：令f（x）=0，即2x+x3-2=0，则2x-2=-x3.
在同一坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象，由图可知两个图象在区间（0，1）上只有一个交点，
函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内有一个零点.
（2）函数的零点等价于[y=（12）x与y=log0.5x]图象交点个数，在同一直角坐标系下分别画出其图象及可作出判断.
答案 （1）B （2） B
点拨 本题（1）是利用函数单调性与根的存在性原理结合判断.题（1）法2和题（2）是利用数形结合法判断零点个数.对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：（1）结合函数图象；（2）根据零点存在定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否惟一.
2. 二次函数零点问题：前面已介绍过，二次函数是中学阶段应用非常广泛的函数，结合二次函数特征，也会出现零点问题.
例2 （1）已知α，β是方程x2+（2m-1）x+4-2m=0的两个实根，且α
（2）若方程x2+ax+2=0的两根都小于-1，求a的取值范围.
解析 （1）设f（x）=x2+（2m-1）x+4-2m.
α，β是方程f（x）=0的两个根，且α
f（2）
（2）设f（x）=x2+ax+2， f（-1）=1-a+2，Δ=a2-8.
由题意得，[f（-1）>0，Δ≥0，-a2
点拨 结合二次函数图象探求二次方程根的分布是解决此题的关键.熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解决二次函数零点的关键. 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨很容易导致解题出错.主要抓住如下几点：（1）二次项系数符号；（2）判别式；（3）对称轴；（4）所给分界点的函数值的符号.
3. 利用函数零点求解参数的取值范围.
例3 （1）已知函数f（x）=[2x，x≥2，x-13，0
（2）已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2.若在区间[-1，3]上，函数g（x）=
f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为 .
解析 （1）在同一个直角坐标系中作出函数y=f（x），y=kx的图象，函数y=f（x）图象最高点坐标为A（2，1），过点O，A的直线斜率为2.x≥2时，f（x）=[2x]单调递减且f（x）>0，直线y=kx过原点，所以斜率0
（2）依题意得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数. g（x）=f（x）-kx-k在区间[-1，3]上有4个零点，即函数y=f（x）与y=k（x+1）的图象在区间[-1，3]上有4个不同的交点. 在坐标平面内画出函数y=f（x）的图象（如图所示），注意到直线y=k（x+1）恒过点（-1，0），由图象知，当k∈[0，14]时，相应的直线与函数y=f（x）在区间[-1，3]上有4个不同的交点，故实数k的取值范围是[0，14].
答案 （1）[0，12] （2）[0，14]
点拨 （1）是分段函数的零点问题，这里直线y=kx过原点，将其绕着原点旋转就可以得出结果.（2）是周期函数零点问题，关键要能准确判断周期并作出一个周期内的图象再解题.利用函数零点求参数范围要注意构造两个函数，利用数形结合的方法求解，通常还要给参数赋予几何意义.
4. 函数模型及应用：这类问题主要是将实际问题构造数学模型，利用以学数学知识求解.
例4 如图，建立平面直角坐标系[xOy]，[x]轴在地平面上，[y]轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程[y=kx-120（1+k2）x2][（k>0）]表示的曲线上，其中[k]与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标[a]不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.
[y（千米）][x（千米）][O]
解析 （1）在[y=kx-120（1+k2）x2（k>0）]中，令[y=0]得， [kx-120（1+k2）x2=0].
由实际意义和题设条件知[x>0，k>0].
[x=20k1+k2=201k+k≤202=10]，当且仅当[k=1]时取等号.
炮的最大射程是10千米.
（2）[a>0]，炮弹可以击中目标等价于存在[k>0]，使[ka-120（1+k2）a2=3.2]成立.
即关于[k]的方程[a2k2-20ak+a2+64=0]有正根.
由[Δ=-20a2-4a2a2+64≥0]得，[a≤6].
此时，[k=20a+-20a2-4a2a2+642a2>0]（不考虑另一根）.
当[a]不超过6千米时，炮弹可以击中目标.
点拨 利用函数解决实际问题主要有以下步骤：（1）审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；（2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题（这是解题关键）；（3）解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；（4）还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论.
备考指南
1. 要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧，会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间. 掌握函数性质与方程根与系数关系的综合应用问题，总结基本解题规律.
2. 建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 要求会理解题意，将实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题.
限时训练
1. 函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点所在的区间为 （ ）
A. （1，2） B. （[32]，2）
C. （2，[52]） D. （[52]，3）
2. 某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致为 （ ）
[y][x][O][1] [A] [y][x][O][1][B][y] [x][O][1][C] [y] [x][O][1][D]
3. 若a
A. （a，b）和（b，c）上 B. （-[∞]，a）和（a，b）上
C. （b，c）和（c，+[∞]）上 D. （-[∞]，a）和（c，+[∞]）上
4. 函数f（x）=2x-[2x]-a的一个零点在区间（1，2）上，则实数a的取值范围是 （ ）
A. （1，3） B. （1，2）
C. （0，3） D. （0，2）
5. 函数f（x）=[x-cosx]在[0，+∞）上 （ ）
A. 没有零点 B. 有且仅有一个零点
C. 有且仅有两个零点 D. 有无穷多个零点
6. 二次函数[f（x）=x2-bx+a]的部分图象如图，则函数[g（x）=lnx+f ′（x）]的零点所在的区间是 （ ）
A. [14，12] B. [12，1] C. [1，2] D. [2，3]
[y][x][O][1][1] [y][x][O][7][11][4 6]
（第6题） （第7题）
7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y=f（x），则y=f（x）的图象是 （ ）
[y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][2][10] [y][x][O][2][10][2][10]
A B C D
9. 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=[M02-t30]，其中M0为t=0时铯137的含量. 已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（60）= （ ）
A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克
C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克
10. 若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=[110x]在[0，103]上根的个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下，那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 （精确到0.1）.
[f（1）= -2＼&f（1.5）=0.625＼&f（1.25）=-0.984＼&f（1.375）=-0.260＼&f（1.4375）=0.162＼&f（1.40625）=-0.054＼&]
12. 已知函数f（x）= [x2，x≤0，f（x-1），x>0，]g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）有两个零点，则实数a的取值范围为 .
13. 函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1
14. 将一个边长分别为a，b（0
15. （1）求函数f（x）=x3-2x2-x+2的零点；
（2）已知函数f（x）=ln（x+1）-[1x]，试求函数的零点个数.
16. 设函数f（x）=[xx+2]-ax2，a∈R.
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）当a>0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点；
（3）若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围.
17. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元. 为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10[a-3x500]万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
18. 某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m. 这种薄板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.
（1）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ [B′][A][D][C][B][P]