解析几何开放性问题的解决策略

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开放性问题有的条件不完备，需要解题者根据题意补充条件再求解；有的条件多余，需要解题者从中选出合适的条件再求解；有的答案不确定，需要解题者探究答案是否存在；有的答案不唯一，需要解题者一一求出答案. 解决开放性问题常常涉及从特殊到一般、数形结合等思想方法，需要同学们利用观察、猜测、类比、归纳等方法，综合解决问题.

解析几何开放性问题是高考复习中的常见题型，也是高考的热点问题.如2012年湖北卷（理科）第21题、2012年广东卷（理科）第20题、2012年江西卷（理科）第20题、2012年山东卷（理科）第21题等，都是典型的解析几何开放性问题.

今天，我们就以一道高考题为例，谈谈解析几何开放性问题的解决策略.

例 [2012年高考数学福建卷（理科）第19题第（2）问] 如图1所示，椭圆E：+=1 （a>b>0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2 的周长为8.设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且直线l与直线x=4交于点Q. 试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

点M是否存在不确定，故例题是一道开放性问题.对于这类问题，我们往往先假设结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理，若所得结果与假设矛盾，则假设不成立；反之则假设成立.

我们首先考虑用直接法解决问题：从条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论.因为圆的直径所对的圆周角是90°，所以要判断点M是否在圆上，只要判断∠PMQ是否为直角即可.而∠PMQ是否为直角，可以通过构建向量，用向量的数量积是否为零来判断.所以，“是否存在定点M使得以PQ为直径的圆恒过点M”这种位置关系，可以等价转化为“是否存在定点M，使·=0恒成立”的数量关系加以解决.

解法一（直接法）： 由ABF2的周长为8可得AB+AF2+BF2=8=AF1+BF1+AF2+BF2 （①），又AF1+AF2=BF1+BF2=2a （②），将②式代入①式，解得a=2. 由e==可得c=1，所以b2=a2-c2=3. 所以椭圆E的方程为+=1.

联立动直线l与椭圆E的方程得y=kx+m，+=1；整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0. 设P（x0，y0）. 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P，所以动直线l不过原点，即m≠0，且Δ=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，化简得4k2-m2+3=0. 由韦达定理可得x0=- （③），所以y0=kx0+m= （④）.将4k2-m2+3=0代入③式和④式，可得x0=-，y0=，即P-，.

由y=kx+m，x=4得Q（4，4k+m）.

设存在满足条件的定点M，则·=0.设P与P′、Q与Q′分别关于x轴对称，则以PQ为直径的圆和以P′Q′为直径的圆也关于x轴对称，所以这两个圆的交点必在x轴上.因为P为椭圆上的动点，点P的位置决定了点Q的位置，所以每作椭圆的一条切线PQ，都能在椭圆上找到另一条切线P′Q′与PQ关于x轴对称.而切线l既代表PQ，也代表P′Q′，由此可知定点M应同时在以PQ和P′Q′为直径的两个圆上，所以M在x轴上.

设M（x1，0），则=--x1，，=（4-x1，4k+m），所以·=-+++3-4x1+=（4x1-4）+-4x1+3. 因为m≠0，k不为定值，所以当且仅当4x1-4=0，-4x1+3=0时，（4x1-4）+-4x1+3=0恒成立，解得x1=1.

故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M.

如果用直接法解题有困难，可以考虑使用先猜后证法：根据题意，用观察、类比、归纳、计算等方法合理地猜测答案，并把答案代入题设进行验证.

对于例题，我们可以利用从特殊到一般的思想方法，先求出PQ在某些特殊位置时点M的坐标，再对点M的坐标进行验证，看点M是否始终在以PQ为直径的圆上.

解法二（先猜后证法）：由解法一可得椭圆E：+=1，P-，，Q（4，4k+m） .

假设存在满足条件的定点M，由解法一可知M在x轴上，设以PQ为直径的圆的半径为r.

取k=0，m=，则P（0，），Q（4，），此时PQ的中点为（2，），r=PQ=2，所以以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，该圆交x轴于点M1（1，0），M2（3，0）.

取k=-，m=2，则P1，，Q（4，0），此时PQ的中点为，，r=PQ=，所以以PQ为直径的圆为x-2+y-2=，该圆交x轴于点M1（1，0），M2（4，0）.

综上猜测，若存在满足条件的点M，则M的坐标为（1，0）.

将M（1，0）代入，可得=--1，，=（3，4k+m），所以·=--3++3=0，恒成立. 故存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M.

点评： 直接法和先猜后证法是解决开放性问题的两大方法. 如何选用这两种方法呢？

如果题目本身比较简单，计算也相对容易，可以考虑使用直接法.

如果结合题中的条件和图象，在特殊情况下比较容易看出结论或经过简单计算就能得出结论，一般可采用先猜后证法.从应试的角度讲，考试时若能猜出答案，即使缺少证明过程也能拿到一定的分数.

通过上面的例题，我们发现，利用图形对称得出“定点M在x轴上”这个结论对解题至关重要.所以在解题时，尤其是在求解解析几何题时，一定要注意挖掘题中图形的结构特点，熟练使用数形结合法.

【练一练】

如图2所示，已知直线l：x=my+1过椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点F且交椭圆C于A，B两点.直线g：x=a2与x轴交于点K，A，B在直线g：x=a2上的射影分别为D，E，联结AE，BD. 试探索当m变化时，直线AE，BD是否相交于一定点N？若存在定点N，请求出点N的坐标并证明.

【参考答案】

分析：若用直接法求解，必须先求出直线AE和直线BD的方程.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（a2，y1），E（a2，y2）.设直线AE的方程为y=kx+b，其中k=.将A（x1，y1）代入y=kx+b可得b=，所以直线AE的方程为y=x+. 同理可得直线BD的方程为y=x+. 联立直线AE，BD的方程可得x=.再联立直线l与椭圆C的方程，根据A，B是直线l与椭圆C的交点，利用韦达定理求出结果，显然计算非常复杂，所以我们考虑使用先猜后证法.

解： 由题意可知K（a2，0） .因为直线l：x=my+1恒过x轴上的定点（1，0），而椭圆C：+=1 （a>b>0）的右焦点F在x轴上，所以F（1，0）.

当m=0时，直线l：x=1垂直于x轴并与椭圆C交于A，B两点，因为椭圆C关于x轴对称，所以A，B关于x轴对称，所以ABED为矩形并关于x轴对称，故矩形ABCD的对角线AE与BD交于对称轴FK的中点N，0.

猜测当m变化时，设AE与BD恒交于定点N，0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），D（a2，y1），E（a2，y2）. 联立椭圆C与直线l的方程可得+=1，x=my+1；整理得（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0. 因为直线l与椭圆C交于A，B两点，所以由韦达定理可得y1+y2=- （①），y1·y2= （②）.

由A（my1+1，y1），N，0，E（a2，y2）可得kAN=，kEN=，所以kAN -kEN=-=. 将①②代入上式可得kAN -kEN=0，即kAN =kEN，所以A，N，E三点共线.同理可证B，N，D三点共线.

所以AE，BD交于定点N，0.