一道值得探究的对称不等式
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摘 要：本文主要对一个对称不等式（已知a，b都为正数，且满足a+b=1，则有a进行变式探究，并利用均值不等式进行适当的推广．
题目：已知a，b都为正数，且满足a+b=1，则有a+b+≥．
分析：初看不等式，大家一定都会有一种似曾相识的感觉，因为不等式左边的两个因式都是两互倒数之和． 而当a为正数时，a+≥2=2，这是中学数学必须掌握的重要不等式． 若用这种思路发现左边是大于等于4的，原不等式不能得到证明． 原因何在？我们注意到对原不等式左边两项直接用均值不等式取等号的条件为a=和b=，即a=b=1． 而条件限制了a+b=1，故原不等式左边两项用均值不等式不能同时取上等号． 因此，此路不通！我们知道当面对变量少而形式又简洁的不等式证明束手无策时，可以拿出此类不等式证明的通法——分析法． 分析法是中学数学证明不等式的基本而又重要的方法． 下面我们用分析法证明此不等式．
证：欲证原不等式，只需证
4（a2+1）（b2+1）≥25ab．
展开，移项得4a2b2+4a2+4b2+4－25ab≥0．
又因为a+b=1，即a2+b2=1－2ab，
故只要证4a2b2－33ab+8≥0．
又0
设f（x）=4x2－33x+80
故原不等式成立．
若将此题改为
变式1：已知a，b都为正数，且满足a+b=1，求a+b+的最小值．
分析：此时显然若用分析法去求最值已经无能为力了． 这种情况下，学生就容易错解成其最小值为4．此时我们只能改变解题思路了，对于分式我们基本考虑通分变形，解答如下：
解：通分有a+b+=．
又因为a+b=1，即a2+b2=1－2ab，故原式==ab+－2．
又0
而函数f（x）=x+（x>0）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．
显然原式当ab=时取得最小值，易求得最小值为．
变式2：已知a，b，c都为正数，且满足a+b+c=1，求a+b+c+的最小值．
分析：此时，显然用分析法和转化为函数最值法已经显得非常复杂了，那么我们能否有新的证明方法呢？我们知道变式1当且仅当a=b=时取上最小值，可以猜测变式了应该是a=b=c=取上最小值． 于是，我们考虑利用拆项法结合均值不等式取等号的条件进行证明．
解：由于a，b，c都为正数，故对该式第一项进行拆项后运用均值不等式可得，a+==≥==，
当且仅当a2=即a=时取上等号；
同理可得
b+≥，当且仅当b2=即b=时取上等号；
c+=，当且仅当c2=即c=时取上等号．
又因为abc≤3=，当且仅当a=b=c=时等号成立．
将以上三个不等式相乘可得
a+b+c+≥??=≥≥1000×3-3=，
当且仅当a=b=c=时以上所有不等式等号成立．
故所求式子的最小值为．
类似变式2的求解可以推广得到如下：
定理：已知a1，a2，…，an都为正数，且满足a1+a2+…+an=1，则有a1+?a2+…an+≥n+n，当且仅当a1=a2=…=an=等号成立．
证：原不等式等价于
…≥n+n．
由于a1，a2，…，an都为正数，故有
=≥== ，
当且仅当a=即a1=时上式等号成立；
同理可得
≥，当且仅当a2=时等号成立；
≥，当且仅当a3=时等号成立；
……
≥，当且仅当an=时等号成立．
又a1a2…an≤n=n，当且仅当a1=a2=…=an=时等号成立，于是将以上n个不等式相乘可得
…≥??…?=≥==（n2+1）n（n）-n=n+n．
当且仅当a1=a2=…=an=时，以上所有不等式同时取等号，
于是不等式得证．