基于随机波动率假设的权证定价理论评述
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摘要：随机波动率（SV）模型在衍生品定价和风险管理中的应用开始发挥越来越重要的作用，但是，由于很难得到似然函数的闭型表达式，SV模型的参数估计问题严重限制了它在金融实践领域的普及应用。不过，近年来，学者们提出了许多旨在解决SV模型参数估计问题的有效且可行的新方法，大大推进了SV模型的应用化进程。本文将在权证定价分析的框架内，重点评述SV模型的参数估计方法，并从理论和实证的角度对它们的优点和不足进行简要评介和比较。
关键词：SV模型；权证定价；估计方法
Abstract：Stochastic Volatility（SV）models are increasingly important in practical derivatives pricing applications， yet the empirical application of SV models in financial has been limited due to the difficulties involved in the evaluation of the likelihood function. However， recently there has been fundamental progress in this area due to the proposal of several new estimation methods that try to overcome this problem， being at the same time， empirically feasible. In this paper， we analysis the main estimators of the parameters and the volatility of univariate SV models under the framework of warrant pricing. We describe the main advantages and limitations of each of the methods both from the theoretical and empirical point of view.
Key Words：SV models，warrant pricing，estimating methods
中图分类号：F830文献标识码：A文章编号：1674-2265（2009）05-0026-05
一、引言
Black-Scholes期权定价理论在金融领域的里程碑地位早已在理论界和实践行业得到广泛认可。在实践领域，正是因为Black-Scholes 期权定价公式的问世，期权类金融衍生产品市场在过去的四十五年中得到了迅猛发展，并已成为了整个金融市场的重要组成部分。与此同时，针对Black-Scholes定价理论的局限性而展开的学术研究层出不穷。和任何其他理论一样，该定价理论的局限性主要表现在偏离现实的种种假设条件上。
由于波动率是金融产品定价和风险管理中最重要的考虑因素之一，所以针对标的资产价格常数波动率假设的研究最为普遍和深刻。标的资产价格波动率是常数的假设和现实之间的冲突是非常明显的，通常资产价格波动率表现出典型的时变特征，比如有厚尾、波动聚集性、杠杆效应、长记忆性和持续性等。目前，对金融波动的以上特征进行刻画的模型可以分两大类：第一类是ARCH/GARCH类波动率模型，Engel（1982）、Bollerslev（1986）将当期波动率表示成过去波动率和平方误差项的确定性函数；第二类是由Taylor（1986）、Ghyselst（1996）和Shephard（1996）提出的随机波动率模型（SV），它把波动率假设成一个服从某种随机过程的潜在变量。
相比较而言，SV模型的理论基础更加贴近现实，能够包含更多的波动率时变特征，如果可以把它和权证定价结合起来，在理论上可以大大提高权证定价的精确合理程度。但是，随机波动率模型的应用却因为其估计方法上的困难而没有ARCH/GARCH类波动率模型那样普遍。不过随着计算机模拟技术和计量经济学的发展，有越来越多的随机波动率模型的估计方法被提出来，大大促进了SV模型在实践领域的应用，进而也使人们能更精确合理地对衍生产品进行定价。本文主要就随机波动率模型的参数估计方法进行评述，并在此基础上对权证定价进行理论上的分析与探讨。
二、随机波动率模型的类型和特征
早期研究这一领域的有Clark(1973)、Eppis和Eppis(1976)、Tauchen和Pitts(1983)，采用混合分布假设来近似资产价格行为，为收益波动率的结构化建模提供了一个理论框架，但是并没有建立起能够刻画具体特征的波动率模型。直到1982年才由Taylor提出反映波动率群集的离散型SV模型，这一模型后来大多被称为是基本SV模型。后来，SV模型经历了从基本模型到能反映更多波动率特征的扩展型模型、从离散时间模型到连续时间模型、从一元模型到多元模型的发展路径。
（一）离散时间的SV模型
Taylor（1986）提出标准离散时间SV模型来刻画金融市场中的有关波动问题，来解释金融收益序列波动的波动率群集效应。
基本的离散SV模型如下：
式中，是第t期的去掉均值后的收益， 是对数波动率； 是一个常数，表示平均的波动水平； 是结构参数，反映了波动率的群集效应；，
误差过程 与互不相关，二者都是不可观测的，
；参数是常数，度量了波动扰动的标准误差。
基本的SV 模型中的许多假定在实践中都不尽合理，修改这些假设，可得到各种扩展的SV模型。同时，单元的SV模型可以扩展到多元，更利于考察各收益序列之间的相关性。比如，Ruiz（1994），Harvey、Ruiz和Shepard（1994）通过假设收益率误差项服从t分布或者GED分布（广义误差分布）而非正态分布，提出了肥尾类SV模型；Harvey和Shephard（1996）并不事先假设扰动项 和 两者之间的相关系数为0，而是一个未知参数，从而提出了杠杆SV模型；Breidt、Crato与DeLima（1998），Granger（1999），Diebold 与Inoue（1999）和Granger 与Hyung（1999）把长记忆引入SV模型，提出了长记忆SV模型。
（二）连续时间随机波动率模型
虽然在现实中，观测值总是离散的，这给连续时间SV模型的估计带来了困难，但是连续时间SV模型还是由于在理论上的明显优势而几乎和离散时间SV模型同时引起学者们的关注。随着计算机技术的发展，获取高频数据开始变得越来越方便，计量经济学的发展为连续时间SV模型的估计提供了更多方法选择的余地。著名的有Hull -White 模型、Stein-Stein 模型和Heston模型。
三、随机波动率模型的主要统计推断方法分析
由于似然函数精确表达式导致的参数估计难问题，SV模型在很长一段时间里同ARCH相比，并没有在实践领域表现出应有的吸引力。然而，最近几年，总体上关于非线性潜变量模型的估计已经有了显著的进步，特别是对SV模型的估计，学者们基于计量经济学和仿真模拟等技术，提出了许多可行的估计方法。根据各种估计方法的特点，可以把这些方法分成如下四大类：
（一）矩估计方法――广义矩估计法（GMM）
Andersen和S?rensen（1993）以及Jacquier、Polson和Rossi（1994）针对该对数正态SV模型提出了GMM估计。主要思想是运用SV模型的平稳性和遍历性性质，这些性质使得样本矩收敛于它们的无条件期望。对一个容量为T的样本，令表示每一个样本矩和其理论矩之间差距的一个向量，m是需要计算的矩的个数。广义矩（GMM）估计量是通过最小准则函数来构造的：
其中 是一个的权重矩阵，它反映了赋予相应的每一个矩的重要性。
GMM方法简单易行，但是并不有效，因为它是通过牺牲有效性来换取相对简单性的。它的主要问题是如何合理地确定权重矩阵。Greet Dphaene 和 Olivier Vergote (2004) 得到了针对标准离散SV模型的GMM估计中最优权重矩阵以及最优GMM估计量渐近协方差矩阵的闭型表达式。利用这两个闭型表达式可以对GMM估计量和其他估计量的有效性进行比较，并且可以从大范围的有效矩条件中选择最优的小范围矩条件。另外，当接近于1时，收敛于无条件矩会相当缓慢，这时只有大样本能够解决这种问题。
Hansen和Scheinkman（1995）利用无穷小生成元来构建隐含于稳态马尔可夫过程中的矩条件，进而通过这些矩条件来构造GMM估计量。George Chacko 和 Luis M. Viciera（1999）基于随机过程的条件特征函数，提出了改进连续时间过程估计的谱广义矩估计方法。以上两种改进后的GMM方法都为连续时间随机波动率模型的参数估计提供了有效参考。最近，Whilla Chen 和Rohit S. Deo（2005）利用GMM对长记忆随机波动率模型进行了估计，并对于样本矩的收敛速度进行了讨论。
在国内，李传乐、王美今（2006）采用模拟广义矩估计方法（GMM），以上证综合指数为样本，考察了涨跌停板制度对沪市股票收益波动的影响，并将SV模型的实证结果与GARCH模型进行了比较，发现SV模型的估计更符合实际。
（二）基于极大似然函数的估计方法――准最大似然估计法（QML）
由于SV模型是非线性的，这使基于线性状态空间模型的估计是无效的。不过，Harvey、Ruiz和Shephard（1994）以及Nelson（1988）通过对标准SV模型中的式（1）的观测值进行平方对数变换，把非线性（高斯）SV模型转化为线性非高斯状态空间模型，并据此提出了准最大似然估计法（QML）。他们假设 是正态分布，利用Kalman滤子得到的准极大似然函数，并使之最大化来得到准极大似然估计值。
传统的极大似然估计方法假设不存在模型设定误差，视观测变量的密度函数为其真实的似然函数，QML估计量则允许模型设定误差的存在，并不事先决定似然函数的具体形式。Ruiz（1994）指出，QML的估计量是一致的，并且是渐近正态的。但是，由于没有基于 的真实似然函数，QML方法并不有效，而且近似效果会随着波动率的波动率的减小而变得更差。Jacquier Polson和Rossi（1994）指出，较高的持续性 和较小的 会使QML估计量产生更大的MSE，所以直接把QML应用于SV模型中会出现重大问题，因为金融数据通常都会有上述两个特征。另外，当观测值为零时，QML方法还会遇到模型内样本点问题（inliers problem），因为此时，随机波动率模型的线性空间模型转化（对数转化）便无法实现。Breidt和Carriquiry（1996）、Fuller （1996）以及 Bollerslev 与 Wright（2001） 通过线性转化的方式给观测值附加一个向上的平移项，改进了传统QML方法，克服了模型内样本点问题。
尽管QML方法有许多局限性，但是它的灵活性是不容置疑的，可以方便地对肥尾类SV模型和多元SV模型进行参数估计。Andrew C. Harvey和Neil Shephard (1996）通过在构成准似然函数的条件密度函数中引入观测变量的符号变量，把QML估计方法延伸到杠杆随机波动率模型的参数估计。
在国内，苏卫东、张世英（2002）通过引入禁忌遗传算法对准极大似然估计方法(QML)进行了改进，很好地克服了传统QML方法在最大化准似然函数时遇到的初点选择问题，并且通过对沪深股市的实证分析表明，改进后的方法较传统QML方法和GMM方法都有效。
（三）辅助模型估计法
1. 间接推断法。Smith（1993），Gourieroux、 Monfort 和Renault（1993）通过引入一个向量（比如说）参数化的辅助模型，提出了关于复杂结构模型基于模拟技术的间接推断方法。这种方法论允许利用错误设定的辅助模型，因为基于正确设定的结构模型的模拟过程，以及对观测值的模拟路径通过同一个辅助模型所发挥的校正作用，可以对模型设定错误所产生的偏差进行有效的调整。
在确定辅助模型后，首先利用样本数据得到一个辅助模型的参数估计量 。接着基于模拟技术，从给定结构参数 的结构模型中获得H次模拟样本
，并借此产生 的新估计量。最后基于H个重复模拟和T个观测值的样本，运用加权矩阵 来选择的一个间接估计量，使得二次距离最小化，即：
上面提到的结构参数 是由链结函数给定的。正是因为需要对在数值最优化算法中出现的各个计算链结函数，使得间接推断这种方法的计算负担较重，降低了实现效率。
2. 有效矩估计法（EMM）。有效矩估计的主要思想和间接推断估计方法相一致，都是通过引入一个辅助模型来对随机模型进行相关分析和估计，只是两者的处理方法不同。Gourieroux、Monfort 和Renault（1993）研究表明，间接推断估计量和EMM估计量是近似等同的，都是一致的且服从渐近正态分布。由于有效矩估计法避免了对每个模拟样本都用得分函数来求得估计量 ，并且不用最小化类似于（3）式的二次距离，所以和间接推断法相比，大大提高了计算效率。但是和间接推断法一样，EMM也会出现在模型设定检验中的过度识别问题。此外，EMM方法无法解决波动率的过滤和平滑问题，所以，还需要用附加的方法来对波动率进行估计和预测。
Andersen、Chung和S?renson(1999)利用蒙特卡罗方法对SV模型的EMM估计量的有限样本特性进行了分析，发现EMM的处理效率低于MCMC方法，但要优于GMM方法。在概念上，EMM方法可以被看成是介于GMM方法和直接对精确似然函数进行推断的方法两者之间。
Engle（1994）、Ghysels和Jasiak（1994）已经利用EMM方法对连续时间的SV模型进行了参数估计。Gallant 和Long（1997）、Jiang 和 van der Sluis （2000）对一些离散SV模型进行了估计。在后来的发展中，EMM主要是被用来对连续时间SV模型进行参数估计，比如，Andersen和Lund（1997）、 Chernov和Ghysels（2000）以及 Dai 和 Singleton （2001）。
（四）贝叶斯MCMC方法（Bayesian analysis based on the Markov Chain Monte Carlo method）
之所以把MCMC方法列入完全模拟方法中，是因为这种方法直接把参数的后验期望作为其估计值。在一般情况下，结构参数 的后验密度函数
以及其后验期望函数的闭型表达式是无法得到的。在这种复杂的情况下，模拟技术就成了一种必要的方法，其中贝叶斯MCMC技术是非常重要的一类。MCMC方法是一种动态的抽样方法，克服了传统Monte Carlo 模拟的高维、静态的缺陷， 提高了估算精度。
Jacquier、Polson和Rossi(1994)首次将贝叶斯方法用于对标准随机波动率模型的分析。他们在贝叶斯框架中，利用基于数据增扩原理（Tanner和Wong，1987）的马尔可夫链蒙特卡罗技术，获取潜在变量（收益波动率）和所有参数之间的联合后验分布，进而从该联合后验分布中提取样本，计算后验矩估计值。这种方法的一个重要特点是把SV模型看成是由先验密度函数 和两个边际分布
构成的分层结构模型，然后根据贝叶斯原理得到
的联合后验分布。从联合后验分布中抽取样本的方法主要有Gibbs抽样方法和Metropolis-Hasting抽样方法。事实上，Gibbs抽样方法是特殊的Metropolis-Ha-
sting抽样方法，也可以看成是EM算法（Expection-
Maximum algorithm，期望值最大算法）的随机版本。
Jacquier、Polson和Rossi（1994）提出的这种方法采用的是单步蒙特卡罗方法，在每个时点上，潜在变量从仅抽样一次。这种方法，虽然在概念上很简单，但是从模拟的角度来看，它并不是特别有效。Kim、Shephard和Chib（1998）提出了基于多步蒙特卡罗模拟的替代方法。这种方法可以对所有潜在波动率进行一次性抽样，所以大大提高了处理效率。
借助于能够实现这种方法的Winbugs和OXmetrics等软件包的发展，MCMC方法在对SV模型的实证分析中得到了广泛应用。Chib、Nardari和Shephard(2002) 提出一种有效的贝叶斯MCMC算法，对由包含肥尾t分布、模型局外变量和跳跃成份的扩展SV模型进行了参数估计。Abanto-Valle、Bandyop-
adhyay、Lachos和Enriquez（2008）基于一系列对称正态分布的混合尺度，利用鲁棒贝叶斯MCMC方法对肥尾SV进行参数估计。Jacquier、Polson和Rossi（2004）把基于MCMC的贝叶斯方法扩展到带有肥尾特征和杠杆效应的SV模型中。Jun Yu（2005）对Jacquier、Polson和Rossi（2004）提到的扩展SV模型做了适当的修正，并利用MCMC方法对其进行了重新分析，改进的效果非常明显。
贝叶斯MCMC方法不仅可以应用于离散SV模型，而且也可以广泛适用于连续SV模型。Roberts、Papaspiliopoulos和Dellaportas（2004），Griffin 和Steel（2003），Griffin和Steel（2008）以及Gander和Stephens（2007） 将贝叶斯MCMC方法应用于波动率服从O-U过程的连续SV模型的参数估计和特征分析。Fruhwirth-Schnatter和Sogner（2008）将此方法用于Heston连续SV模型的相关分析。
在国内，孟利锋、张世英、何信（2004）采用贝叶斯框架下的MCMC方法对具有杠杆效应的SV模型进行了参数估计， 并借助Wingugs对上海和深圳股市的指数收益时间序列进行实证分析，捕捉到显著的杠杆效应。周彦、张世英（2007）利用MCMC方法对连续时间SV模型进行了估计。
（一）权证定价分析
统计推断估计方法的不断发展大大促进了基于SV模型的衍生品定价研究的发展，进而也为在随机波动率假设下的权证定价研究奠定了基础。
第一，在某些SV模型下，比如Heston模型，是可以得到欧式期权价格的闭型解的。在这种情况下，只要通过有效可行的估计方法得到SV模型参数和波动率的估计值就可以求出欧式期权的价格，在做适当修正后，便可以直接对权证进行定价。
第二，虽然对于大部分SV模型而言，欧式期权价格的闭型表达式是无法获得的，但是，在得到SV模型的参数估计值之后，通过不太复杂的模拟方法，比如蒙特卡罗模拟方法，我们就可以得到性能良好的欧式期权价格的近似值。对于离散时间SV模型，可以直接进行模拟，而对于连续时间SV模型，则要先通过离散化来构建模拟路径，然后再进行模拟定价。目前的研究中广泛采用的离散化方法主要是欧拉离散化方法和Milstein离散方法，虽然这些方法简单易行，但会由于忽视掉波动率不能为负的直观假设而产生较大的离散误差。因此，如果能提出一种能确保波动率为非负且操作性强的离散化方法，必定能更合理地对SV模型进行仿真模拟和参数估计。
目前，SV模型和资产定价模型或风险管理模型的结合，只是简单地分为两步，即先通过SV模型估计出波动率，然后将其纳入到资产定价模型和风险管理模型。但是，这样会忽略掉模型与模型之间可能存在的可融合问题，比如，假设条件或者模型设定冲突等，所以有必要对SV模型和其他模型的嵌套问题进行深入研究。
第三，每种SV模型都有各自在模型设定上的特点，比如假设条件和模型结构的不同，而以不同资产为标的物的欧式期权又有各自不同的市场微观结构，且不同的市场会有不同的市场机制，所以是否存在一种对任何欧式期权定价都是最优选择的SV模型，在理论上是值得怀疑的。如果不存在，那么在不同的欧式期权或权证和SV模型之间是否存在一一对应的最优选择关系呢？鉴于我国权证市场上权证种类稀少的实际情况，我们有条件用不同的SV模型对每只权证进行拟合分析，并探索其中可能存在的内在规律。如果在我国权证市场不断发展之后，权证的种类数量超出了逐一分析的限度，那么在理论逻辑上，可以依据一定的标准，比如标的股票的规模或者是市场交易的结果和理论推测的结果偏差，对权证进行分类研究。
（二）SV模型估计方法研究的展望
通过对随机波动率模型的参数估计方法的评述，我们发现该领域今后的研究需要在以下两个方面有所突破：
第一，虽然估计方法之间关于实现难易程度、精确度和处理速度等方面的比较研究取得了一些成果，但是都还只是局部比较。而且即使是局部比较，所得到的结果也是不一致的，有的甚至是截然相反的。所以有必要对不同SV模型估计方法的优点和缺点进行全面的比较研究。
第二，进一步简化实现手段，开发出更具操作性的SV模型估计软件。虽然近年来SV模型估计的软件化取得不小成果，但是，相比于ARCH/GARCH模型的估计还是显得过于复杂。这也是SV模型未能在实践领域得到进一步普及的主要原因，所以在提高估计方法实现效率这方面还有很大的发展空间，其中相关开放性软件的开发是最主要的一块。
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