股价服从跳扩散的可转换债券定价模型
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一、引言
可转换债券（简称可转债）是一种中长期的混合型融资工具，一方面属于公司债券范畴，投资者可自愿选择持有至到期日获得本金和利息；另一方面可选择在约定的时间内将其转换成发行公司的股票。因此，可转债兼具债券和股票的优点，有筹资和避险的双重功能，同时为资金管理提供了兼顾固定收益和未来收益的资金分配策略。
自从1983年美国的NEWYORK ERIE公司发行世界上第一张可转债以来，以其独特的金融性质逐渐为投资者们所熟悉并受到了广泛欢迎。2007年肆虐全球金融市场的次级债风暴，将企业的借贷成本推升至5年高点，可转债为这些不堪信贷成本重负的企业，提供更加可行的出路。
由于可转换债券引入我国时间不长，市场投资者对其价值还不是很了解，相关的理论研究还集中在定性分析和条款设计上。在这个背景下本文研究可转换债券价值，对我国可转换债券市场以及金融产品的创新都有非常重要的理论意义和现实意义。
二、股票价格行为特征
由于在现实的金融市场当中存在由于一些重要信息的到达引起股价的不连续变化，令v(s,t)表示到期时间为T的可转债在t时刻的价值，股票价格s用以下跳扩散过程来刻画更具有现实意义：
dstst=μdt+σdzs+udqt（1）
其中μ和σ分别是股价的期望回报率和波动率，dZs是标准的维纳过程，dqt是描述发生跳的点过程：
dqt=0(ω1，不发生跳）
1（ω2，发生跳）
在[t,t+dt]]时，不发生跳的概率为prob(ω1)=1-λdt，发生跳的概率为prob(ω2)=λdt，λ称为跳的强度。u是描述跳的幅度独立同分布随机变量，当dqt=1时，即对事件ω2，[s]=st+-st=ust。这里st=st-，u＞-1。当u＞0时，st+＞st，即股价在t时刻往上跳；而当u＜0时，st+＜st，即股价在t时刻往下跳；但在任何情况下，股价不可能为负，即
st+=st(1+u)＞0
故u＞-1。
用随机微分方程描述的股价st的演化，称为股价遵循跳扩散模型，是Merton在1976年提出的。跳扩散模型的金融意义：股票价格的总变化由两部分组成。第一种变化是价格的正常振动，例如供需的暂时平衡，经济前景的变化等，这种变化可以用几何布朗运动来描述，它具有连续的样本路径。第二种变化是价格的不正常振动，它是由于重要新信息的到达，对股价产生重大影响，一般来说，这样的信息是关于具体公司和行业的，对整个市场影响不大，属于“非系统风险”，这种变化可以通过反映信息重要影响的“跳跃”过程来刻画。
首先构造投资组合
∏t=vt-Δtst（2）
Δt是t时刻卖出的股票份额。
由于存在刻划股票跳跃的Poisson过程，因此希望直接通过Δ对冲，使得投资组合∏t在（t,t+dt）是无风险的，这是不可能了！但是由于跳跃部分来自于具体公司或行业的新的重要信息的披露，因此它表示为市场无关的“非系统”风险，因此可以认为投资组合∏t的期望收益率是无风险利率，即
E(d∏t)=r∏tdt（3）
根据模型（1），在[t，t+dt]时段内，股价有两种可能：
（1）若st不发生跳，即对于事件ω1，由于
vt=v(st,t)
因此由It公式
d∏t(ω1)=dvt-Δtdst=vt+12σ2st22vs2dt+vs-Δtdst（4）
（2）若st发生跳，对于事件ω2，有
d∏t(ω2)=v(st+,t)-v(st,t)-Δt(st+-st)=v((1+u)st,t)-v(st,t)-Δtust（5）
由(3)式有
r∏tdt=E(d∏t)
=(1-λdt)[d∏t(ω1)]+λdt[d∏t(ω2)]
=(1-λdt)vt+12σ2s22vs2dt+vs-Δtdst+λdt[v(1+u)st,t)-v(st,t)-Δtust]（6）
取
Δt=vs(st,t)
在等式（6）两边对u取期望，消去dt2项，并考虑到投资组合（2）式，立得
vt+12σ2s22vs2+(r-λk)svs-(r+λ)v+λEu(v((1+u)s,t))=0（7）
其中k=Eu(u)
设可转债面值为B，转股比例为m，则其边界条件满足：
v(s,T)=max(B,ms)
lims∞v(s,t)=ms（8）
可见在跳扩散模型下，可转债的定价模型可以表示为一个带由数学期望产生的积分项的抛物型方程的Cauchy问题(7)(8)。
令
x=lns,η=ln(1+u)(-1＜u＜∞)，τ=T-t,v(ex,T-t)=f(x,τ)（9）
那么定解问题（7）（8）可转化为
-fτ+12σ22fx2+(r-λk-σ22)fx-(r+λ)f+∫∞-∞f(x+η,τ)p(η)dη=0（10）
f(x,0)=max(B,mex)
limx∞f(x,τ)=me2（11）
这里p(η)是随机变量η-ln(1+u)的概率密度函数。
四、可转债定价公式
定解问题（10）（11）是具有非局部积分项的抛物型方程Cauchy问题，用迭代法进行求解。令f=f0(x,τ)适合齐次方程初值问题：
f0τ-12σ22f0x2-(r-λk-σ22)f0x+(r+λ)f0=0（12）
f0(x,0)=B+(mex-B)+(13)
它的解可表成
f0(x,τ)=∫∞-∞f0(x,0)K(x,τ;ξ,0)dξ（14）
其中K(x,τ;ξ,0)是方程的基本解
K(x,τ;ξ,0=e-(r+λ)τσ2πτexp-(x-ξ)+r-λk-σ22τ22σ2τ（15）
令f=f1(x,τ)适合非齐次方程初值问题
f1τ-12σ22f1x2-(r-λk-σ22f1x+(r+λ)f1=λ∫∞-∞f0(x+η,τ)p(η)dη（16）
f1(x,0)=B+mex-B)+（17）
易见
f1(x,τ)=f0(x,τ)+g1(x,τ)（18）
我们就给出定解问题（10）（11）的形式解
f(x,τ)=f0(x,τ)+∑∞n=1gn(x,τ)
=∑∞n=0λn∫∞-∞K(n)(x,τ;ξ,0)[B+(mex-B)+]dξ（19）
因此K(1)(x,τ;ξ,0)作为(x,τ)的函数适合非齐次方程初值问题：
K(1)τ-12σ22K(1)x2-(r-λk-σ22K(1)x+(r+λ)K(1)=1(x,τ;ξ,)（20）
K(1)=0（21）
因此K(1)(x,τ;ξ,0)=τ1(x,τ;ξ,0)（22）
从而求出g1(x,τ)，再回到原变量x=lns,τ=T-t
利用数学归纳法，可以求得
gn(s,t)=1n![λ′(T-t)]ne-λ′(T-t)×[Be-rn(T-t)(1-N(dn1))+msN(dn2]（23）
其中
dn1=lnmsB+(rn-12σn2)(T-t)σnT-t（24）
dn2=lnmsB+(rn+12σn2)(T-t)σnT-t（25）
σn2=σ2+nσu2T-t（26）
rn=r-λk+nT-tμ+σu22（27）
得到在跳扩散模型下，可转债定价的显式解
v(s,t)=∑∞n=01n![λ′(T-t)]ne-λ′(T-t)×[Be-rn(T-t)(1-N(dn1))+msN(dn2)]（28）
其中参数由公式（24）―（27）表出。
五、结束语
股票价格的不连续性即跳扩散模型的引入使得可转债定价模型较难把握，特别是模型的求解方面，在绝大多数情况下没有显式解，而是求助于数值方法。本文运用无套利原理得到可转债的定价模型，用迭代法得到定价公式。在整个模型的推导过程中，我深切感受到微分方程理论在金融工程学中的重要地位，值得我们共同探讨。
（作者单位：浙江工商大学统计学院）
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