代数式变形法

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用配方法可以求解二次函数的对称轴、最值、零点，求解二次不等式或判断其正负，甚至能帮我们进行因式分解.

利用配方法求解二次函数问题

配平方是高中数学中最常见的配方形式，其实质是将二次函数的一般式改写为顶点式，即f（x）=ax2+bx+c=a（x-m）2+n （a≠0），其中（m，n）是该二次函数图象——抛物线的顶点坐标.

用配方法可以求解二次函数的对称轴、最值、零点，求解二次不等式或判断其正负，甚至能帮我们进行因式分解，如x2-2ax-3a2=（x-a）2-4a2=（x+a）（x-3a）.

例1 [2011年高考数学湖南卷（文科）第22题第（1）问] 求函数f（x）=x-■-alnx （a≥0）的单调递增区间.

解析： 要求函数f（x）的单调递增区间，就是要求导函数f′（x）≥0的解区间.

f（x）的定义域为（0，+∞）. f′（x）=1+■-■=■（x2-ax+1）. 因为x>0，所以■>0，故f′（x）≥0等价于x2-ax+1≥0，配方得x-■2≥■-1.

因为x-■2≥0，所以当■-1≤0即0≤a≤2时，x-■2≥■-1恒成立，此时函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）.

当a>2时，解x-■2≥■-1，可得x≤■-■或x≥■+■，此时函数f（x）的单调递增区间为0，■-■与■+■，+∞.

点评： 不等式x2-ax+1≥0含有参数，无法直接求解.为此，我们通过配方得到x-■2≥■-1，因为x-■2≥0恒成立，故只需按■-1≤0与■-1>0两种情况进行讨论，就能解决因含两个变元x，a难以求解不等式的问题.同时，根据■-1≤0获得答案0≤a≤2后，对a的取值范围的分类就变得非常容易，便于进一步求解函数f（x）的单调区间.

用因式分解证明不等式或求解函数零点问题

因式分解常用于证明不等式或求解函数零点问题，如解方程、解不等式等.其实质是将高次的、不熟悉的式子转化为低次的、常见的式子.

在进行因式分解时，首先要考虑各项是否可以提取公因式，其次要考虑能否套用公式或利用十字相乘法，最后检查每个因式是否可以继续分解.

例2 [2011年高考数学安徽卷（理科）第19题第（1）问] 设x≥1，y≥1，证明x+y+■≤■+■+xy.

解析： 作差得x+y+■-■+■+xy=■-■-■+1-（xy-x-y+1）=■-1■-1-（x-1）（y-1）=■-（x-1）（y-1）=■（1-xy）.因为x≥1，y≥1，所以x-1≥0，y-1≥0，xy≥1，1-xy≤0，故■（1-xy）≤0，即x+y+■≤■+■+xy.

点评： 作差比较法是证明不等式的基本方法.

作差得到二次式后，往往采用配方法判断其正负；若不适合用配方法求解，可利用因式分解，逐个判断因式的符号，并由此判断整个式子的正负.

例2用了“加1减1”的技巧.由于■·■=■，x·y=xy，故可将■，■，■与x，y，xy分组进行因式分解.只要在这两组中分别添上“1”“-1”，就能把它们分解为■-1■-1与（x-1）（y-1）.当分组进行因式分解遇到困难时，如不能完全套用公式或利用十字相乘法，可以考虑拆项、添项. 至于拆什么项、添什么项，则需根据题意进行判断.

例3 [2012年高考数学浙江卷（理科）第17题] 设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]·（x2-ax-1）≥0，则a= .

解析： 当a=1时，[（a-1）x-1]·（x2-ax-1）=-（x2-x-1）≥0不可能恒成立；

当a≠1时，设f（x）=（a-1）x-1，g（x）=x2-ax-1.因为f（x）的图象为斜率不为0的直线，g（x）的图象为开口向上的抛物线，而[（a-1）·x-1]（x2-ax-1）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）应在（0，+∞）上单调递增，由此可得a-1>0，即a>1.令（a-1）x-1=0，可得x=■>0.

x2-ax-1必可分解为（x-x1）（x-x2），由x·x2=-1

如图1所示，因为a-1>0，而[（a-1）·x-1]（x-x1）（x-x2）≥0对x>0恒成立，故由穿根法知识可知，三次函数h（x）=[（a-1）x-1]（x-x1）（x-x2）的两个正根■，x2必定重合，否则h（x）在x=■与x=x2两侧的值正负相反，不可能恒大于0，故x2=■.

将x2=■代入x2-ax-1=0可得■2-a·■-1=0，解得a=0或a=■.因为a>1，所以a=■.

点评：当a≠1时， 例3也可看作三次函数h（x）=[（a-1）x-1]（x2-ax-1）在（0，+∞）上的最小值问题，同学们可求导判断，但运算过程比较麻烦.可见求导并不总适用于函数的最值问题和单调性问题.通过因式分解，我们可以得到■，x1，x2是方程h（x）=0的根，由题意可知x=x2是方程h（x）=0的重根，由此即可得解.

用换元法降次、简化算式

换元法具有降次与简化算式的作用.

当表达式中多次出现同一“子式”时，可以将它视作一个整体，用单一变量替代整体进行换元，先求出该变量的值或范围，再进一步求解子式中的变量的值或范围.

“1”的代换是一种特殊的换元法.在代数恒等变形中，我们可以考虑利用或构造恒等于“1”的式子，将它和所求式相加、相减、相乘或相除，达到降次、消元或套用相关公式求解的目的.

“1”的代换也常用于三角函数变形，常见的有关“1”的恒等式有sin2α+cos2α=1，sin90°=cos0°=tan45°=1等.

例4 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10=7，S20=63，则S30= .

解析： 当公比q=1时，应有S20=2S10，由题意可知q≠1不成立.

当公比q≠1时，由S10=7，S20=63可得■=7，■=63.设■=m，q10=n，则有m（1-n）=7，m（1-n2）=63，解得m=-1，n=8.所以S30=■（1-q30）=m（1-n3）=511.

点评： 在例4中，表达式■，q10作为整体在多个方程中出现，因此可以分别用m，n替换■，q10.由于S30=■（1-q30）=m（1-n3），故不必进一步求出a1，q的值，将m，n直接代入计算即可获得结果.可见，换元后不一定要求出原变量的值或范围，关键是要审清题意，见机行事.

例5 [2012年高考数学浙江卷（文科）第9题] 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是

（A） ■ （B） ■ （C） 5 （D） 6

解析： 由x+3y=5xy得■+■=1，则3x+4y=（3x+4y）■+■=■+■+■≥■+2■=5，当且仅当■=■即x2=4y2时等号成立.又x，y>0，所以x=2y，代入x+3y=5xy，解得x=1，y=■.此时3x+4y有最小值5，选C.

点评： 当代数恒等变形受阻时，可以考虑通过约去公因式等方法构造恒等于“1”的式子，如在例5中将x+3y=5xy变形为■+■=1，再代入求解.

不少同学对例5的第一反应是利用基本不等式，由5xy=x+3y≥2■解得xy≥■，而3x+4y≥2■=■，所以选A.这种解法错在两次等号成立的条件不一样，前者为x=3y，后者为3x=4y，当x，y都是正数时，两者不可能同时成立.在例5中，使用“1”的代换可以避免多次应用基本不等式导致等号成立条件不一致的情况.