轨迹方程的几种求法

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【摘要】本文主要研究各式轨迹方程的求法并结合高考中轨迹方程题目，是重点引导学生总结每种方法规律的课程设计。

【关键词】轨迹 系数法 直接法 相关点法

【中图分类号】G632.479 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）03-0171-02

一、教材分析

1、教材的地位和作用：求轨迹方程贯穿于圆锥曲线的全过程，在本章结束时帮助学生总结求轨迹方程的常见方法是必要的。

2、教材内容：该专题是在学生复习了解析几何有关内容后的专题课，主要研究各式轨迹方程的求法并结合高考中轨迹方程题目，重点引导学生总结每种方法的规律，使之在求轨迹方程时有法可依。

3、教学目标：

知识目标：1）掌握轨迹的概念，了解轨迹的纯粹性与完备性。2）能够选择适当的直角坐标系求曲线方程，熟悉求轨迹方程的一般步骤。3）熟练掌握求轨迹方程的常用方法：待定系数法、直接法、相关点法等（由于篇幅有限定义法和参数法略）。

能力目标：培养学生逻辑思维能力、创新能力及一题多解能力；培养学生学习数学的兴趣、信心和毅力。

4、教学重点、难点和关键：

重点是回忆求动点轨迹的一般步骤和常见的几种方法，使学生遇到求轨迹问题时有明确的思路，难点是在无坐标系的情况下，如何建立恰当的坐标系既迅速又准确地求出动点的轨迹方程。

二、教学程序

本专题分为两课时，本节课主要介绍待定系数法、直接法、相关点法。

1、课题引入：纵观近几年的各省市高考题，有许多的解析题都涉及求轨迹方程，为此，本节课我们结合高考题专题研究轨迹方程的各种求法。

设计意图：采用开门见山的方式，直接点明该专题与高考的密切关系，可提高学生的积极性、主动性，从而顺利地进入学习情境。

2、复习提问：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程（焦点在 轴上）

设计意图：从学生的知识储备出发，为学生提供较为熟悉的问题情境。

3、自主探索形成知识网络，请看题组1：

（1）（2009全国卷二理21文22）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为■ ，求a 、 b。

（2）（2010重庆文21）已知以原点为中心F（■，0）为右焦点的双曲线C的离心率e=■，求双曲线的标准方程及渐近线方程。

（3） （2011陕西高考）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，求抛物线方程。

设计意图：学生对知识的掌握不是在教师的单纯讲授中完成的，只有在学生自主探索学习的过程中才能真正实现，通过题组1的三个小题让学生自主探索三题的共同特征是什么？能否给上述方程的求法起个名？学生回答后，教师板书轨迹方程的第一种求法--待定系数法。并投影例1。

（一）待定系数法：

例1 试求同时满足下列三个条件的双曲线方程：（1）渐近线方程是x±2y=0。（2）焦点在x轴上。（3）双曲线上的点到定点A（5，0）的最小距离是3。

请学生思考如下问题：

问题1：该题所求双曲线方程是否为标准式，为什么？若是，方程该如何设出，若学生设为■-■=1（a>0、b>0）的形式，再跟着追问能否由题意将 统一起来，引出■-■=1（a>0、b>0）的形式。

问题2：双曲线上的点和点（5，0）的距离该如何表示？能否将该距离表示为二次函数形式？

设计意图：数学教学寻找解题思路比掌握解题方法更为重要。如何把思维过程展示给学生，并让学生回答问题也阐述思维过程（即为什么这样想）可提高学生分析问题、解决问题的能力。通过上述一连串的小问题使学生发现该题最后转化为求二次函数的最值问题，将本来陌生的解析问题转化为熟悉的代数问题，找到解决问题的突破口。

问题3：请学生书写解题过程。

设计意图：寻找解题思路尽管是教学重点，但严谨正确的解题格式是得分的关键，教学中要培养学生这方面的能力，同时也培养了学生的逻辑思维能力。

问题4：以上各题均采用了待定系数法，请根据自己的理解说明何时用待定系数法，怎么用？学生回答后，教师投影：（待定系数法适用条件）

（二）直接法：首先投影直接法定义。求解过程是：建标设动点--列式--坐标化--整理化简--方程

例2 （2011湖北文21理20）平面内与两定点A1（-a，0） A2（a，0） （a>0）

连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上 ， 两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线，求曲线C的方程并讨论C的形状与m值的关系。

问题1：题中有无坐标系，若将题中条件改为：已知平面内两个定点 ， ，它们的距离为 ，动点P与 ， 两点的连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，又该如何建标？

问题2：动点P满足的几何条件是什么？

问题3：怎样将几何条件坐标化？

问题4：如何化简上述坐标式？

设计意图：本题属最常规的求动点轨迹方程问题，通过4个问题渗透直接法求轨迹方程的4个步骤。

问题5：通过对该题的分析，请学生总结直接法。

教师点评：直接法是求轨迹方程的通法，但是否能解决所有的题目呢？请看下题：抛物线y2=4x 上的点M与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程为

问题1：若按直接法考虑该题，设p（x，y）则P点满足什么几何条件？

问题2：如何用坐标替换几何条件|MP|=|PF|M点坐标如何设，又如何消？（学生思路受阻）

问题3：思考P点变化的根源是什么？

问题4：P点随M点的变化而变化，而M又在哪儿变？P、F、M三点坐标关系又如何？

设计意图：在学生思路受阻的情况下，教师"画龙点睛"启发学生发现P点变化根源是因为M点变，而M点在已知曲线上变。使学生顿感："山重水复疑无路，柳暗花明又一村"，同时也点明了第三种方法--相关点法的思路程序。教师板书：相关点法，同时投影例3

例3 已知定点A（3，0），Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交QA于M，求M点的轨迹方程。

师生共同分析：动点 的位置依赖于Q的位置，而Q点在定圆上，要寻求M与Q的关系，将Q点坐标用动点M的坐标表示出来：解：（学生板演： 略）请学生总结相关点法特征及解题规律。

设计意图：让学生总结既能再现解题过程，又能培养学生的归纳总结能力，使知识系统化。

三、小结

问题1：本节课介绍了几种求轨迹的方法。

问题2：简述每种方法适用条件：即何时用何种方法。（还有几种方法我们日后再继续学习）。

设计意图：通过设置问题，师生以谈话交流的形式进行小结，既突出课题，强调重点，又再现了解题规律，为课下运用这些方法求轨迹方程打下坚实基础。