解析中考正方形问题

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正方形既是一种特殊的平行四边形，又是一种特殊的矩形，还是一种特殊的菱形． 在近年来的中考中，经常遇到正方形问题． 解答它们，应灵活利用如下性质：

1． 正方形的对边平行，四条边都相等；

2． 正方形的四个角都是直角；

3． 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角且是正方形的对称轴．

现举例如下：

例1 （2009年四川省达州市中考试题）如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为?摇?摇?摇 ?摇?摇cm（结果不取近似值）．

分析：PBQ周长等于PB＋PQ＋BQ，BQ＝1，那么应先求PB＋PQ的最小值． 由点P是对角线AC上一动点，B、Q两点在对角线AC的同一边，要求PB＋PQ的最小值，应在对角线AC的另一边找一定点，使点P与该定点的距离等于PB或PQ． 这样，能将PB＋PQ转化．

解：连接PD和QD．

点B和点D关于AC对称，点P在AC上，

PD＝PB．

PB＋PQ＝PD＋PQ≥DQ．

当且仅当点P是DQ与AC的交点R时，PB＋PQ可取得最小值，该最小值等于DQ的长．

CD＝2，CQ＝1，∠DCQ＝90°,

DQ=■=■.

PB＋PQ的最小值为■．

BQ＝1，

PBQ周长的最小值为（■+1）cm．

例2 （2009年福建省宁德市中考试题）如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：ADG≌ABE；

（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．

分析：（1）要证明ADG≌ABE，关键在于证明∠DAG＝∠BAE；（2）连接FC后，作FHMN于H，则FCH有可能是等腰直角三角形，可以猜测∠FCN＝45°．

解：（1）

四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，

∠EAG＝∠BAD＝90°．

∠DAG＝∠BAE．

AD＝AB，AG＝AE，

ADG≌ABE（SAS）．

（2）∠FCN＝45°，为说明这结论，先作FHMN于H，则∠EHF＝∠ABE＝90°．

∠AEF＝∠ABE＝90°，

∠BAE＋∠AEB＝90°，∠HEF＋∠AEB＝90°．

∠HEF＝∠BAE．

又，AE＝EF，

EFH≌EAB（AAS）．

FH＝BE，EH＝AB＝BC．

CH＝BE＝FH．

FCH是等腰直角三角形．

∠FCH＝45°，∠FCN＝45°．

例3 （2010年山东省青岛市中考试题）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．

（1）求证：BE＝DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM． 判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

分析：（1）要证明BE＝DF，只需证明RtABE≌RtADF．（2）依题意，OM＝OA，若能得到OE＝OF，则四边形AEMF是平行四边形．又，AE＝AF，则四边形AEMF是菱形．

解：（1）

四边形ABCD是正方形，

AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．

AE＝AF，

RtABE≌RtADF（HL）．

BE＝DF．

（2）四边形AEMF是菱形．

AC是正方形ABCD的对角线，

∠BCA＝∠DCA＝45°．

BC＝DC，BE＝DF，

CE＝CF．

CO是等腰CEF顶角的平分线．

OE＝OF．

OM＝OA，

四边形AEMF是平行四边形．

AE＝AF，

四边形AEMF是菱形．