巧思妙解话二次根式

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇巧思妙解话二次根式范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

二次根式的化简和计算是初中数学教学的重要内容.在化简和计算中，若能根据题目的特点，恰当地灵活运用已学过的数学知识，采取巧妙的解题方法，可以使运算简洁而明快，从而使一些看似复杂的二次根式的问题简单化，能够达到事半功倍的效果.下面通过以下几道有点复杂二次根式题的解法，来探索应用哪些巧妙的解题方法来解决这些看似复杂的二次根式问题.

一、巧约分

例1化简2-323-32.

分析对于这道题，分子与分母是不能直接约分的.若仔细观察分子与分母之间的关系，可以发现：如果把分母变成12-18，那么再提取6，23-32可以化为6（2-3），这样就很容易与分子2-3相约分，从而把复杂的问题简单化了.

解原式=2-312-18=2-36（2-3）

=16=66.

二、巧用乘法公式

例2计算（2+3+5）（32+23-30）.

分析对于这道题，如果直接应用乘法的分配律展开，将会出现九项，然后再合并同类二次根式，计算量比较大，而且很容易出错.所以对这道题我们应仔细观察能否应用我们学习过的完全平方公式或平方差公式来解决.通过观察发现，如果把32+23-30）化成18+12-30，然后再提取出6就可以把它化为6（3+2-5），这样就可以和前面的2+3-5，利用加法的结合律及平方差公式和完全平方公式来解决.这样就可以降低这道题的计算量，从而能快速而又准确地解决这道题.

解原式

=（2+3+5）（18+12-30）

=6（2+3+5）（3+2-5）

=6[（3+2）2-（5）2]

=6（3+2+26-5）=12.

三、巧用幂的逆运算法则

例3计算（2-1）2007（2+1）2009.

分析有些学生拿到这道题不知从何下手，对于次数这么大，如果去一个一个计算，难度是比较大的，当然这样做题也不是命题者出这道题的意图，所以不能这样计算这道题.故而首先观察到2-1与2+1相乘，可以利用平方差公式计算，然后再应用七年级学习过的幂的逆运算法则an・bn=（ab）n，通过这样的巧妙思考，那这道看似棘手的二次根式问题就迎刃而解了.

解原式=（2-1）2007（2+1）2007（2+1）2

=[（2-1）（2+1）]2007（2+1）2

=1×（2+1）2=3+22.

四、巧用因式分解

例4已知a=14，b=19，求a-4ba-2b-a+b+2aba+ab÷（aa+bb）的值.

分析通过对这道题分析，形式较为复杂，直接代入计算比较繁琐，故而首先要对后面复杂的分式加以化简，然后再把a=4，b=9代入比较简单.化简要通过应用完全平方公式及平方差公式把它因式分解，这样可以把复杂的分式化成简单的式子.

解原式

=（a+2b）（a-2b）[]a-2b-（a+b）2a（a+b）÷（1a+1b）

=a+2b-a+ba÷a+bab

=a+2b-b=a+b.

当a=4，b=9时，

原式=14+19=12+13=56.

五、巧取倒数

例5已知x=12+1，求代数式xx2+1的值.

分析如果直接把x的值代入，显然计算比较麻烦，可以观察一下分式的情况，发现如果先求xx2+1的倒数，即x2+1x，同时这个式子可以化成x+1x，显然根据条件，比较容易求这个分式的值.

解化简x=2-1，1x=2+1.

x2+1x=x+1x=（2-1）+（2+1）=22，

所以原式=122=24.

六、巧变形

例6已知x=15+2，求x3+3x2-5x+3的值.

分析这道题若直接代入，显然计算量比较大，首先由已知条件可以求出x=5-2，这样易得x+2=5.若再把这个方程两边平方可以得到x2+4x-1=0，再观察要求的整式的特征，可以把这个整式化成这样的一个形式（x3+4x2-x）-（x2+4x-1）+2，那么就很容易解决这道题目.

解由条件得x=5-2，即x+2=5.

两边平方并整理得x2+4x-1=0.

原式=（x3+4x2-x）-（x2+4x-1）+2

=x（x2+4x-1）-（x2+4x-1）+2

=2.

七、巧用“1”的代换

例7化简1+42-355+6+7.

分析对于这道问题，大部分学生会感觉到无从下手，如果找不到巧妙的方法，想解决这道问题显然比较困难，故而要观察这个式子的特征.观察发现，42-35若提取7可得到7（6-5），那么可以有1=（6+5）（6-5），这样就很容易解决这道问题.

解原式

=（6+5）（6-5）+7（6-5）5+6+7

=（6-5）（5+6+7）5+6+7

=6-5.

八、巧拆项

例8化简6+43+32（6+3）（3+2）.

分析这道题是形式较为复杂的问题，如果直接计算是比较难的，所以需要寻找巧妙的解法来解决这道问题.首先要观察这道题目的特点，通过分析，若把分母巧拆成6+3+3（3+2）之后，解决这道问题就比较简单了.

解原式=6+3+33+32（6+3）（3+2）

=13+2+36+3

=3-2+6-3=6-2.

总之，对以上几种类型的题目，我们可以针对不同特点的题目，选取巧妙的解题方法来解决，所以同学们在平时的做题过程中可多思考、多联想，灵活应用已学知识，巧妙解决这类二次根式问题.