建立数学模型解决110警车配置及巡逻方案
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［摘 要］ 文章利用数学建模解决城市110警车配备及巡逻方案问题。文中用到了概率知识，MATLAB和C语言编程等。通过论文展示了利用现代编程技术解决实际问题的简捷性和优越性。
［关键词］ 警车配备；显著性指标；巡逻方案
［作者简介］ 陈利群，广东创新科技职业学院数学教师，硕士，研究方向：模糊数学规划，广东 东莞，523960
［中图分类号］ TP391 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-7723（2012）05-0051-0005
一、问题叙述
110警车在街道上巡弋，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时也加快了接处警（接受报警并赶往现场处理事件）时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。
考虑某城市内一区域，城市的平面图给定，则相应街道和公路的长度都已知，为简化问题，假定所有事发现场均在下图的道路上。该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该城市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要尽量满足以下要求：
D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于90％；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内；
D2. 使巡逻效果更显著；
D3. 警车巡逻规律应有一定的隐蔽性.
本文通过数学建模解决了以下问题：
1. 若要求满足D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻？
2. 用数值量化出评价巡逻效果显著程度的有关指标。
3. 用数值量化出能同时满足D1和D2条件的警车巡逻方案及其评价指标值。
二、基本假设与符号说明
（一）模型假设
道路畅通没有阻碍，所有车辆配置一样，没有出现车故障，车辆的技术状况良好，巡逻时，警车不停留；
警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h；
事发处在道路的节点上；
所有警车同时出发；
当接警后,警车到达重点部位附近边上或节点上便到达重点部位；
每个警车负责一个区域。
（二）符号说明
四个坐标分别为：A（5112，4806），B（9126， 4266），C（7434 ，1332），D(11880,924)
vi ：第i个节点，i=1,…,307
eij：节点i和j之间的距离
Sm：警车m所经过的节点数
Sm：警车m不能在三分钟内到达的节点数
Q：警车总数；
Lm：路段总长度；
lm：巡逻完区域m内所有节点所经过的最小长度；
Wm：警车在区域 内移动时，警车m所有与可能的事发点对应位置情况的数目；
wm：区域m内包含的警车赶不到事发地点的可能数；
Tm：巡逻完区域 内所有节点所用的最短时间。
三、模型建立与求解
（一）问题一
1. 问题分析与建模
该问题需要解决的是在该市内一区域节点数307个已知，并且满足条件D1下，说明至少需要配置几辆警车巡逻，才能做到。其实就是要求解警车的数量，分别建立模型使得警车组合数（JZHmin）与警车所覆盖的节点（JDmax）达到最优，以及警车在划分区域内的覆盖率达到不低于90％，要在两分钟内赶到重点部位。在处理这个问题前我们假设车固定在某个节点vi上。由数据生成图，发现重点部位A在四个节点v101，v103，v110，v112所围成的区域，根据我们的假设以及点覆盖问题，以这四个点为重点部位A的始祖点向外覆盖。进而继续对重点部位B，C以及其他节点进行覆盖处理。
第一步：利用Dijkstra算法算出图上任意两点间的最短距离；
为了方便表达，先把307个节点划分分别编号放在集合 ，并对节点间的道路距离也划分编号放在集合 。
第二步：限制条件
1. 由于当接警后，要在两分钟内赶到重点部位，接警后车的平均行驶速度为40km/h，固有
2. 由于当接警后三分钟内赶到现场的比例不低于90％，固有
2. 模型的求解
点覆盖在网络( 图论) 的拓扑结构中具有重要的地位， 它不仅是算法理论上的经典问题， 在实践上也有重要的应用价值， 并因最近在生物计算中得到重大应用而备受关注[1]。
每辆车负责各个区域，考虑有事故按照约束条件D1下到达现场，通过计算，该区警车组合数（JZHmin）为12辆，结果如下：
图1 满足D1条件下所划分的区域图(号为警车m的固定节点)。
注：警车 m的固定节点根据节点的疏密性等。
根据表1，可以求得在D1条件下12辆警车在改区内所达覆盖率为：
（二）问题二
1. 问题分析与有关指标
对于广大市民而言，在街道上见到民警巡逻会增强安全感。所以对警察而言，与其让警车24小时停在警局，不如把警车开到大街小巷。不仅可以及时处理身边的突发时间，还能增强广大市民的安全感。根据大量的调查问卷显示，普遍市民认为见警率为一个小时一次安全感比较恰当，过于频繁有可能会扰乱市民的正常生活。而警车巡逻所用时间大概为30～60分钟一次.
鉴于以上情况，我们给出两个评价巡逻效果显著程度指标如下：
（1）使警车所巡逻的区域内尽量覆盖更多的节点数 ；
（2）警车在所巡逻区域内巡逻完所有节点需要的最少时间 ；
我们综合以上指标提出一个问题，在满足指标（1）和（2）时， 该区最少需要配置多少辆警车巡逻？
（三）问题三