当几何遇到代数

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现在开始，爱上数学――

“解析几何彻底改变了数学的研究方法。” 美国数学家莫里斯・克莱因的这句话足以证明解析几何的诞生在数学发展史上的重要意义。

一次，议员阿达姆在美国国会大厦无意中听到另一位议员的谈话，然而那位议员却距离阿达姆相当远。阿达姆感到非常奇怪，就向那位议员的方向走了几步。但一离开原来的位置，他就无法听到那位议员的声音了！这究竟是为什么呢？

你，一名已经学过解析几何的高中生，如果恰好在现场，应该就能解开阿达姆心中的困惑。美国国会大厦的屋顶是抛物线形的，阿达姆与那位议员的位置恰好位于抛物线形天花板的两个焦点上（见图1），从其中一个焦点位置发出的声音传播至一边的抛物线形屋顶，经多次反射，恰好汇聚于另一边的抛物线形屋顶的焦点上，位于焦点上的两个人便能清晰地听到对方讲话的声音。

当然，阿达姆“窃听事件”纯属偶然，不过要想找出这两个焦点也并非什么难事，就交给解析几何吧。

解析几何是什么

解析几何分为平面解析几何和空间解析几何两大类。平面解析几何主要研究直线、圆、圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的代数表达式，并通过代数表达式来研究它们的几何性质；空间解析几何主要对平面、直线、柱面、锥面、旋转曲面等进行研究。

简单地说，解析几何就是用代数方法来研究几何问题的一门学科。例如，平面解析几何的基本思想有两点：第一，在平面建立直角坐标系，平面上任意一个点的坐标与一组有序的实数对一一对应；第二，在直角坐标系中，如果曲线C上的点的坐标都是方程ｆ（ｘ，ｙ）＝0的解，并且以方程ｆ（ｘ，ｙ）＝0的解为坐标的点都在曲线C上，那么平面上的曲线C就可由带两个变量的一个代数方程ｆ（ｘ，ｙ）＝0来表示。从这里可以看出，利用坐标不仅能使几何问题通过代数方法来表达和解决，而且还能使变量、函数以及数和形等重要概念密切地联系起来。

解析几何的诞生与发展

在人类社会的发展过程中，几何学始终伴随着生产和生活的发展。在《中学生天地》（高中学习）杂志去年10月号的《数学让我们的智力生活变得丰富多彩》一文中，我们曾提到，对于土地的测量和面积的计算最终催生了几何学。16世纪以后，由于生产和科技的发展，天文、力学、航海等各个领域都对几何学提出了更高的要求。比如，德国天文学家开普勒在他的著作《新天文学》中提出，行星是沿着椭圆轨道绕着太阳运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现，被投掷的物体总是沿着抛物线运动……这些发现都涉及圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线的性质，原有的数学知识就显得捉襟见肘了。

1637年，笛卡儿出版了著作《方法论》。在书中，笛卡儿提出要寻找一种具有几何学和代数学两门学科的优点而没有它们的缺点的方法。这一思想包含在《方法论》一书的附录之一《几何学》的内容中。因此，数学史上通常以《几何学》一文的发表作为解析几何诞生的标志。

实际上，和笛卡儿同时代的法国业余数学家费马也是解析几何的主要创始人之一，他在1629年写的《平面和立体的轨迹引论》一书中，就使用了代数方法来研究曲线的性质。费马指出：“两个未知量决定的―个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”其实这就是代数方程与几何轨迹之间的对应关系。

那么，笛卡儿与费马的解析几何思想有什么不同呢？简单地说，笛卡儿是从轨迹出发来寻找它的方程，而费马则是从方程出发来研究轨迹，这正是解析几何基本原则中两个相对的也是最重要的方面。

然而，在解析几何创立初期，大多数数学家仍被陈旧观念所束缚，反对把代数和几何混为一谈。后来，随着直角坐标系的发展与完善，解析几何的思想才渐渐被接受。在解析几何的发展史中，英国数学家沃利斯、沃尔夫和德国数学家莱布尼兹等人都为完善直角坐标系作出了自己的贡献；瑞士数学家约翰・伯努利引进了现在通用的三个坐标平面，把解析几何从平面推广到空间；而欧拉则给出了现代形式下的解析几何的系统叙述。之后对解析几何发展作出重要贡献的是法国数学家拉格朗日，他在1788年提出了向量概念，引起了数学家与物理学家的极大关注。向量分析方法的出现立即对解析几何产生了深刻的影响，现在，向量代数已经成了空间解析几何的重要内容。与任何一门学科一样，解析几何能够发展到今天，都是前辈数学家们共同努力的结果。

解析几何的诞生对数学思想发展的影响不可估量

从古希腊时期起，几何学在西方数学发展过程中似乎一直拥有至高无上的地位，甚至一些代数问题也要用几何方法来解决。但是，随着解析几何的发展，自古希腊以来代数和几何分离的趋向被改变了，相互对立着的“数”与“形”的统一，使几何曲线与代数方程完美地结合了起来，这是数学思想史上的一次巨大飞跃。可以说，解析几何的诞生是数学发展史上的伟大转折。

首先，解析几何提供了用代数计算解决几何问题的一种统一的思想方法，彻底改变了数学的研究方式。苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的《解析几何》一书的前言中说：“解析几何没有严格确定的内容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法。”古希腊时代的许多几何问题都是个别解决的，不同的几何问题需要不同的几何证明过程。而解析几何提供了用代数计算解决几何问题的统一思想，突破了几何学发展的瓶颈，不同的几何问题都可以用坐标法来解决。

其次，解析几何的出现促进了数学思想的新发展。解析几何把几何与代数结合起来，一方面用代数语言描述几何概念，用代数方法研究几何图形的性质；另一方面给代数语言以几何解释，使代数概念变得直观易懂。这种数形结合思想在近代和现代的数学发展中产生了深远的影响。坐标法沟通了代数与几何，成为解析几何的主要工具，先前几何学中的难题一旦运用坐标法解决，就变得轻而易举了。解析几何的坐标思想为几何学乃至其他学科的发展插上了“翅膀”。例如，由实数与直线上的点一一对应、实数对与平面上的点一一对应，不难想到三元有序数组与空间中的点构成一一对应；再进一步想一想，四元、五元甚至ｎ元有序数组对应的点又是什么呢？这就导致了线性代数（高维空间理论）的诞生。

最后，解析几何通过将代数与几何统一起来，揭示了数学内在的统一性。早期的数学家把代数与几何严格区分开来，在当时对数学各科的深入发展是有利的。但数学毕竟是一个有内在联系的统一体，如果长期将数学中的各个分支隔离开来，将不利于数学本身的发展。

解析几何的应用：丰富生活，启迪生活

或许有的同学会认为，解析几何挺有意思，但它只不过是课本上那些不断变化的线条、几何体和表达式，和生活没多大关系。事实绝非如此，我们的生活能像今天这样丰富多彩，也得益于解析几何。你也许不知道，汽车的车灯就是利用抛物线原理制成的，车灯的反射镜是抛物面形的，在焦点处的光源发出的光线经过反射后平行射出，非常适宜于远程照明；你也许不知道，眼镜的镜片、望远镜以及我们中学实验中的马克斯威尔通话器都是利用抛物线的原理制成的；你也许不知道，我们甚至可以用解析几何来分析人生！如果我们以时间为横轴，以人的生命力为纵轴，那么人生是什么呢？当我们呱呱坠地的时候，非常娇弱，需要大人们的精心呵护；随着时间的流逝，我们渐渐长大，能跑能跳，直到步入社会，生命力也渐渐达到了最旺盛的阶段；之后，我们开始渐渐衰老，身体的各项机能也进入了衰退阶段。人的生命既有两头的最低点，也有中间的最高点，不正是一条抛物线吗？