不能忽视的

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圆锥曲线是解析几何的重要内容. 圆锥曲线问题由于计算量大、涉及面广、综合性强,解题时容易出现这样或那样的错误.其中圆锥曲线与直线或其他二次曲线相交的问题中,由于忽视判别式而造成错解的现象比较常见.

一、 直线与圆锥曲线相交问题:忽视判别式

例1已知椭圆+y2=1,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

错解: 显然直线x=0不满足条件,可设l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). 联立+y2=1,y=kx+2,消去y得:(1+4k2)x2+16kx+12=0(①), x1+x2=-,x1x2=. ∠AOB为锐角, •=x1x2+y1y2>0;而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4, x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=(1+k2)•+2k•-+4=>0,解得-2

剖析纠正: 上述解法由于忽视了“直线与椭圆交于不同的两点”这个条件而造成了错误. 事实上,这一条件说明消元后的一元二次方程①的判别式必大于零,即Δ=(16k)2-4•(1+4k2)•12=64(4k2-3)>0, k,即k的取值范围应为-2,-∪,2.

二、 点差法求解:未用判别式验证

例2已知双曲线x2-=1,过P(1,1)能否作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且P为AB的中点?若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.

错解: 设A(x1,y1),B(x2,y2),由于过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求,故x1≠x2. P为AB的中点, x1+x2=2,y1+y2=2. 又 A,B在双曲线上, -=1,-=1,两式相减得:(x1+x2)(x1-x2)-=0, k==2,故存在直线l:y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

剖析纠正: 错解解得的k=2只是P为AB中点的必要条件,我们还要用判别式验证其充分性. 正确解法应补充以下过程:

将2x-y-1=0 代入x2-=1,得2x2-4x+3=0,Δ=(-4)2-4×2×3=-8

注:凡是直线与圆锥曲线的交点问题,必须验证判别式的符号!

三、 曲线与曲线相交有两个公共点问题:使用判别式不当

例3请问实数a为何值时,圆x2+y2-2ax+a2-1=0与抛物线y2=x有两个公共点?

错解: 由x2+y2-2ax+a2-1=0,y2=x消去y得:x2+-2ax+a2-1=0(①),由于圆与抛物线有两个公共点, Δ=-2a2-4(a2-1)>0,解得a

剖析纠正: 错因在于将“两曲线有两个公共点”与“方程有两个实根”混为一谈. 因为曲线不同于直线,直线与圆锥曲线相交不存在有两个以上公共点的情形,但两曲线相交的情况却复杂得多,公共点可能超过两个.上述圆与抛物线有两个公共点的情况有:两者相交于关于x轴对称的两点(如图1所示),或相切于关于x轴对称的两点(如图2所示).

当圆与抛物线相交于两点时,方程①有两个不等的实根,其中一根必为正根,另一根必不能为正根或0. 若另一根为0,则圆与抛物线将有3个交点;若另一根也为正,则圆与抛物线将有4个交点.所以此时对方程①有Δ>0,a2-1

当圆与抛物线相切于两点时,方程①有两个相等的正根,即Δ=0,2a->0,a2-1>0;解得a=.

故当a=或-1

【牛刀小试】

1. 求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x仅有一个交点的直线方程.

2. 已知双曲线x2-=1,过点A(0,1)作斜率为k的直线l交双曲线于P1,P2两点. 问k取何值时,线段P1P2的中点在直线x=上?

3. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 已知点P(-4,0),过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点,当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时,求直线l斜率k的取值范围.

【参考答案】

1. y=1,x=0,y=x+1

2. k=-1

3. (1) +=1

(2) -≤k≤