函数单调性在抽象函数中的应用
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我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。要突破抽象函数的难点，研究单调性是关键。下面我们就看看函数单调性在抽象函数中的一些应用。
题组讲习
【例1】 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,若f(logax)>f(x2)在x∈0,12上恒成立,则a的取值范围是．
【例2】 已知定义在R上的奇函数f(x)满足在(0,+∞)单调递减,且f(2)=0,则不等式f(x+1)
1. 解法一 由题意得,不等式logax>x2对x∈0,12上恒成立,
当a>1时显然不成立；
图1
当0
由函数y=logax(0
所以116≤a
解法二 (数形结合法)不等式logax>x2对x∈0,12上恒成立,表示在x∈0,12时,函数y=logax的图象在y=x2图象的上方,如图1所示,当a>1时显然不成立；
当0
所以116≤a
2. 解法一 (分类讨论法)由f(x+1)
当x+1>0,即x>-1时,有x+1>2,解得x>1;
当x+1
则-x-1
综上,不等式f(x+1)
图2
解法二 (数形结合法)由题意,画出函数y=f(x)的示意图,如图2所示,
函数y=f(x+1)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的,
由函数y=f(x)的图象经过点(2,0)、(0,0)和(-2,0)可知,
函数y=f(x+1)的图象经过点(1,0)、(-1,0)和(-3,0),
由图可知,不等式f(x+1)
点评 1. 解决抽象函数中不等式问题的关键是利用函数单调性将f(m(x))>f(n(x))转化成m(x)与n(x)的大小关系；
2. 不等式问题的实质是函数图象的高低问题,函数的单调性则反映了图象的升降.数形结合也是解决这两类问题的很好途径,如问题1,2中的解法二。
类比•拓展•延伸
1. 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈［t,t+2］,不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是．
图3
解 当x0,f(-x)=(-x)2=x2,
f(x)是定义在R上的奇函数,
当x
又当x≥0时,f(x)=x2,
由图3可知,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
由f(x+t)≥2f(x)=f(2x)得,x+t≥2x对x∈［t,t+2］恒成立,
即t≥(2-1)x,t≥［(2-1)x］max,
t≥(2-1)(t+2),解得t≥2．
2. 设函数y=f(x)定义在R上,对任意实数m,n恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0
(1) 求证：f(0)=1,且当x1；
(2) 求证：函数f(x)在R上单调递减；
(3) 设集合A={(x,y)|f(x2)f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=,求a的取值范围．
解 (1) 令x=0,y=1得f(1)=f(0)f(1),
设x0,0
令m=x,n=-x,则有
f(x)f(-x)=f(0)=1,
f(x)=1f(-x)>1；
(2) 设x1
x2-x1>0,0
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)
=f(x1)-f(x2-x1)f(x1)
=f(x1)［1-f(x2-x1)］,
由题意及(1)可知,对任意实数x恒有
f(x)>0,则f(x1)>0,又1-f(x2-x1)>0,
f(x1)>f(x2),
函数f(x)在R上单调递减；
(3) 由集合A可得,f(x2+y2)>f(1),
由函数f(x)在R上单调递减得x2+y2
由集合B可得,f(ax-y+2)=1=f(0),则ax-y+2=0,B表示直线上的点的集合,
A∩B=,
直线ax-y+2=0与圆x2+y2=1相切或相离,
2a2+1≥1,解得a∈［-3,3］．
点评 1. 在问题1中用图象判断函数f(x)是定义在R上单调递增是关键,把2f(x)化成f(2x)是难点,这样就化成f(m(x))>f(n(x))形式；若将不等式两边都用解析式代入,则问题很难解决。
2. 在问题2中证明抽象函数单调性时运用了x2=(x2-x1)+x1,即减一个数再加一个数的技巧,使问题得到突破。
方法总结
从上面这些问题中我们可以看出,函数的单调性在抽象函数中的应用主要是两个方面：一是单调性的判断；二是单调性的逆向运用。判断抽象函数单调性主要运用定义法,但更应当注意x2=(x2-x1)+x1,x2=x2x1•x1的变形技巧以及题目中所给性质的运用。单调性的逆向运用,关键在于将所给的不等式两边化为函数值f(x)的形式,再利用函数单调性脱去函数的记号“f”。
实战演练
1. 已知偶函数f(x)在区间［0,+∞)单调增加,则满足f(2x-1)
2. 设函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,对任意的a、b∈［-1,1］,当a+b≠0时都有f(a)+f(b)a+b>0．
(1) 若a>b,比较f(a)与f(b)的大小；
(2) 解不等式fx-12
(3) 记P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且P∩Q=,求c的取值范围．
【参考答案】
1. 函数f(x)在［0,+∞)上递增,则在(-∞,0］上递减．
f(2x-1)
2. 设-1≤x10,
x1-x2
f(x1)+f(-x2)
函数f(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,
f(x1)-f(x2)
函数f(x)是定义在［-1,1］上的增函数.
(1) 若a>b,则f(a)>f(b)；
(2) fx-12
-1≤x-12≤1,
-1≤x-14≤1,
x-12
(3) 由题意得P={x|-1≤x-c≤1}={x|-1+c≤x≤1+c},Q={x|-1+c2≤x≤1+c2},
P∩Q=,
-1+c>1+c2或-1+c2>1+c,
c的取值范围是c>2或c