浅析三角形形状的判定
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有关三角形形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习和习题，而此类型的题目又经常碰到，因此应对知识作一个较全面的归纳和分析,再分不同的类型例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。
一、三角形的有关知识：
1．角的关系：A+B+C=π?圯C=π-(A+B)、 =-或A+B=π-C、=-
2．边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
3．边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。
正弦定理：===2R。
余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，
b2=a2+c2-2accosB，
c2=a2+b2-2abcosC。
三角形面积：S=absinC=bcsinA=casinB
4．三角形的分类：按角分：锐角，直角，钝角。
按边分：等腰，等边。
其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。
二、三角形形状的判断
判断三角形的形状，一般有两种思路：其一是化边为角，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，求出三条边之间的关系式。实施转化的主要策略是运用三角函数的关系式、向量和正余弦定理等。
1．正余弦定理法
例1在ABC中，如果有性质acosA=bcosB，试判断ABC的形状
解法一：因为acosA=bcosB
所以由正弦定理的推论可得
sinAcosA=sinBcosB
sin2A=sin2B
因为0
所以2A=2B或2A=π-2B，A=B或A+B=。
所以ABC为等腰三角形或直角三角形。
在得到sin2A=sin2B后，也可以化成
sin2A-sin2B=0
所以cos(A+B)sin(A-B)=0，
A+B=，或A-B=0
即A+B=，或A=B从而得到问题的结论。
解法二：由已知及余弦定理的推论可得：
a=b
整理，得：a4-a2c2+b2c2-b4=0，即（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，于是a2=b2或a2+b2-c2=0，a=b或a2+b2=c2
ABC为等腰三角形或直角三角形。
说明：解法一运用正弦定理化边为角，寻求角之间的关系式，解法二用余弦定理化角为边得出边之间的关系式。
2．三角函数法
例2.已知α是一个三角形的内角，且sinα+cosα=，则这个三角形的形状是（）
A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定
解： 00
说明：本题直接利用三角函数线及三角形中任两边之和大于第三边，缩小角的取值范围，从而快速得解。
例 3. ΔABC中，内角A和B满足cosAcosB=sinAsinB，则ΔABC的形状是。
解：cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=0又A+B∈（0，π ）
A+B=，故ΔABC是直角三角形。
变式1：若条件为cosAcosB>sinAsinB，则ΔABC的形状是钝角三角形。
变式2：若条件为cosAcosB
说明：本题倒用两角和与差的公式，再根据角的取值范围先确定角A+B的范围，从而确定角C的范围，就得解。
例4．给出下列四个命题：
①若sin2A=sin2B，则ABC是等腰三角形。
②若sinA=cosB，则ABC是直角三角形。
③若cosA•cosB•cosC＜0，则ABC是钝角三角形。
④若cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A)=1，则ABC是等边三角形。
以上命题正确的为（）
A ①②B ③④C ①④ D ②③
解：在ABC中，由sin2A=sin2B，得A=B或A+B= ABC为等腰三角形或直角三角形，①错；由sinA=cosB，得sinA=sin(-B) A+B=或A-B=，②错；由cosAcosBcosC＜0，知cosA、cosB、cosC有且只有一个小于0，从而ABC为钝角三角形，③对；由cos(A-B)•cos(B-C)•cos(C-A)=1，得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1， A=B=C，ABC为正三角形，④对，故选择B。
3．向量法
例 5. 如图ABC中，=c，=a，=b，则下列推导中，是假命题的为（）
A、若a•b>0，则ABC是钝角三角形
B、若a•b=0，则ABC是直角三角形
C、若a•b=b•c，则ABC是等腰三角形
D、若c•（a+b+c）=0，则ΔABC是等边三角形
解：a+b+c=++=0 对任意三角形都成立，而c•0 =0恒成立选项D中的命题是假命题，故选D。
说明：本题是一道易错题，很可能会错选A。要注意的是向量a、b的夹角不是内角A，而应是1800-A（求向量的夹角的前提是它们有共同的起点）；另选项C也正确，可通过向量a、c在b上的投影相等，再由三角形全等可得a=c。本题主要根据向量的数量积的定义来解，要注意概念的准确运用。
例6.向量，，满足条件++ =0， ===1，试判断ABC的形状。
解：++ =0 +=-
（+）2 =（）2
2+2+2•=2
===1， OA•OB=-
OA•OBcos∠AOB=-，
∠AOB=，同理∠AOC=∠BOC=
故ABC是正三角形。
例7．在ABC中，设=a，=b，=c， 若a•b=b•c=c•a，判断ABC的形状。
解：a+b+c=0，a+b=-c，（a+b）2=c2
a2+b2+2a•b=c2同理b2+c2+2b•c=a2
两式相减，得a2-c2+2（a•b-b•c）=c2-a2
a•b=b•ca2=c2=
同理=，==故ABC为正三角形。
说明： 例6运用向量的运算性质化为角的关系式，例7则化为边的关系式判断。
三、总结
1）观察、分析和联想能力在解题能力中占有很重要的地位，观察已知条件中的数、式、形，联想有关的公式、定理、定义、性质、常见变形方法与常用解题思路等，从而找到简便的解法。
2）判定三角形的形状，除单纯角的关系或边的关系外，对含有边角的关系，一定要把条件统一转化成边的关系或角的关系来判断。在转化过程，除了直接应用边角关系的正余弦定理外，还充分用到和、差、倍、半角的三角恒等变换公式去改变角和三角函数的形式，并利用向量的数量积等有关知识来解题。
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