走进“动感地带” 感受数学魅力

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点、线、面是几何图形的基本要素，随着其中某一元素的运动变化，其他元素(或有关结论)可能随之变化，也可能保持不变.运动变化题就揭示了这一特点．这类题目蕴涵着“变”与“不变”、“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的辩证思想，由于形式多样，立意新颖，符合新课程的要求，在近几年的中考试卷中经常出现，成为中考压轴题的命题热点．解决这类问题的关键是要考虑几何元素所运动的方向和路径，注意运动过程中哪些是变化的量，哪些是不变的量，有时还要抓住某些特殊位置进行分类讨论．现举2006年部分省市的中考试题加以分析，希望你能从中体会到一些规律.

一、变与不变共存

例1(内蒙古鄂尔多斯市)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DC∥AB，BC=3，DC=4，AD=5.动点P从B点出发，由BCDA沿边运动，则ABP的最大面积为()．

A．１0B．12C．14D．16

解析：在点P沿梯形的边运动的过程中，ABP的面积先由小变大；当点P在上底DC上运动时，由于“平行线间的距离处处相等”，故ABP的面积保持不变；当点P在腰AD上运动时，ABP的面积又由大变小.这里的面积有时变化，有时不变.显然，点P在线段CD上运动时，ABP的面积保持最大.不难求得下底AB=8，若以AB为底，则ABP的高与BC相等，可求出ABP的面积为12，选B．

点评：其实ABP中边AB的长不变，将AB视为底边，则高越大时，面积便越大．显然当点P在线段CD上时高最大，此时ABP的面积也最大.

点评：由于点C在x轴上运动，线段BC的长随之变化，等边CBD的大小和位置都不断变化，但A、E两点保持静止，直线AE也就一直不动，其实点D是在静止的直线AE上滑动．抓住运动中的静止元素，找准变化中的不变量，正是解决运动变化问题的关键.

二、运动与变换兼有

例4(河北省)如图4，在RtABC中，∠C=90°，AC＝12，BC=16，动点P从点 A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动.P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中，PCQ关于直线PQ对称的图形是PDQ．设运动时间为t(秒)．

(1)设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；

(2)t为何值时，四边形PQBA是梯形?

(3)是否存在时刻t，使得PD∥AB?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PDAB?若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间

点评：本题除了P、Q两点的运动外，还有图形的翻折，既涉及图形运动又包含图形变换，既考查了轴对称的有关知识，还考查了实验与观察、探究与创新的意识和能力.

三、运动中探究规律

例5(江苏省扬州市)图6是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中ABC内接于G， AB是G的直径，AB=6，AC=3.现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中(如图7)，然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动 (如图8)，当点B滑动至与点O重合时运动结束.

(1)试说明在运动过程中，原点O始终在G上；

(2)设点C的坐标为(x，y)，试探求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)在整个运动过程中，点C运动的路程是多少?

点评：圆在动，但直径不变，直径的端点A、B分别在x、y轴上滑动，坐标原点O一直保持在圆上.点C在运动，但始终都保持在与OX夹角为30°的射线上.本题是一道操作探究题，抓住变化中的不变，运动中的静止，是解决问题的突破口.

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