明修栈道,暗渡陈仓

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在数学问题的求解过程中，有时对一些未知量只需设出，而不必求出其值，我们称这种方法为设而不求法.利用设而不求法解某些应用题，往往具有事半功倍之效，现举例说明.

一、部分未知量设而不求

例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，若用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；若用4台抽水机抽水，16分钟可抽完；若要在10分钟内抽完水，则至少需要抽水机台.

解：设开始抽水前已有水量为a，管涌每分钟的涌水量为b，每台抽水机每分钟的抽水量为c，并设x台抽水机抽完水需t分钟，则有，

2×40c=a+40b①4×16c=a+16b②xtc=a+tb③t≤10 ④

①÷②，得a=80b⑤

将⑤代入②得c=b ⑥

把⑤、⑥代入③得t=⑦

把⑦代入④得≥10，

解得：x≥6.

所以，若要在10分钟内抽完水，至少需抽水机6台.

例2某一次考试共需做20道小题，做对一道得8分，做错一道扣5分，不做得0分，某学生共得13分，那么这个学生没做的有道小题.

解：设该生做对x道题，做错y道题，没做的题有z道，则x+y+z=208x-5y=13，

所以，8（x+y）=8x+8y=（13+5y）+8y=13（y+1），

即：8（x+y）=13（y+1），

因为13与8互质，所以，13整除（x+y），

又因为0＜x+y≤20，

因此，这个学生没做的题有7道.

二、全部未知量设而不求

例3有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可运货多少吨？

解：设一辆大车与一辆小车一次可分别运货x吨、y吨，根据题意得：

2x+3y=15.5 ①5x+6y=35②

①×7-② 得9x+15y=73.5③

③÷3得3x+5y=24.5，

即，3辆大车与5辆小车可运货24.5吨.

例4某校购买5种教具A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数可列成下表：

那么，购买每种教具各一件共需元.

解：设购买教具A1、A2、A3、A4、A5各一件各需x1、x2、x3、x4、x5元，则有，

x1+3x2+4x3+5x4+6x5=1999 ①x1+5x2+7x3+9x4+11x5=2984 ②

①×2-②，得x1+x2+x3+x4+x5=1014，

因此，购买每种教具各一件共需1014元.