对一道中考试题解法的探究

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇对一道中考试题解法的探究范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

试题：（2011年武汉市初中毕业升学考试第22题）

如图1，PA为O的切线，A为切点. 过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交O于点B. 延长BO与O交于点D，与PA的延长线交于点E.

（1） 求证：PB为O的切线；

（2） 若tan∠ABE=，求sin∠E的值.

第（1）问是圆中的常见问题，因为点B在圆上，连半径OB，证明∠OBP=90° 即可. 这里的关键是发现OP是弦AB的中垂线，通过三角形全等或等腰三角形的性质可证∠OBP=90°. 证明过程不再赘述.

第（2）问综合性强，对同学们的能力要求较高，解答方法多样，本文主要探讨第（2）问的证明方法.

图1

一、 构造相似三角形

解法1： “A”型与勾股定理

如图1，由tan∠ABE=，设OC=k，则BC=2k，BO=k，OP=5k.

由∠ABE=∠BPO，得PC=2BC=4k，BP=2 k.

由（1）得∠OAE=∠PBE=90°.

又∠OEA=∠PEB，

OAE∽PBE，

===，

即=.

整理，得AE=2DE.

设DE=t，则AE=2t.

在RtOAE中，（2t）2+ （k）2=（k+t）2，

解得t=，

OE=，

sin∠E==.

解法2 ： “A”型与切线长定理

如图2，BD为直径，∠BAD=90°，

AD∥OP，

AD=2OC=2k， ADE∽POE，

==.

图2

设AE=2t，PE=5t，则PA=3t.

PA=PB PB=3t.

sin∠E==.

解法3： “A”型与合比性质

由解法2 知，==，

由比例的合比性质，得==，即=，

DE=，

OE=DE+OE=，

sin∠E==.

解法4： “A”型与“射影定理图”

如图3，过O点作OFOA交AB于F.

AEOA ，OF∥AE，

=.

图3

由解法1可知OC=k，AC=BC=2k，OA=OB=k.

OFOA，OCAF，AOC∽OFC.

OC2=AC・CF ，CF=k.

BF=BC-CF=k，AF=AC+CF=k.

sin∠E====.

二、面积法

解法5：转换目标角

如图4，由解法1 知PA=PB=2k，PC=4k，AB=4k.

过A点作AFPB于F，由三角形面积公式得AF・PB=AB・PC，

AF=.

在RtAPF中，PF==.

EBPB，AFPB，EB∥AF，

∠E=∠PAF，

sin∠E=sin∠PAF==.

图4

三、 构造辅助圆

解法6： 圆的性质与勾股定理

如图5，由第1问可知，∠PBO=∠PAO=90°，

图5

A、P、B、O四点共圆.

设圆心为N，连接BN.

∠AOE=∠APB.

OPAB， ∠BNC=∠APB，

∠AOE=∠BNC.

又∠OAE=∠BCN，

∠E=∠CBN.

由解法1得，OC=k，BC=2k.

设N的半径为r，则CN=r-k，BN=r，

在RtBCN中，（2k）2+（r-k）2 =r2，

解得r=k，

CN=k-k=k，

sin∠E=sin∠CBN==.