有关等价无穷小量代换问题的讨论

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摘 要： 文章依据教学过程中遇到的两类求极限的例题，提出了无穷小量差运算的等价代换和幂指函数的无穷小量代换问题，并对这两类极限问题在理论上给出了解决的方法.

关键词： 等价无穷小量代换 幂指函数 极限

在讲授利用等价无穷小量求函数极限的过程中，学生在解决下面两类例题中遇到了一定的问题.

类一：（1） （2）

（1）的正确解法：=

错误解法：==0

（2）的正确解法：=-

=-=1-=

错误解法（暂时认为是错误的）：

===

针对这两个例题的不同做法，有以下问题需要解决。

第一：第（2）个题目的“错误做法”是否真是错误的？因为两种做法的答案是相同的，我们有理由认为第二种做法可能是正确的。

第二：如果（2）的第二种做法正确，那么（1）的第二种做法为什么不可以呢？

第三：和差运算满足什么条件时，就可以进行等价无穷小量的代换？

类二：（3）（1+3x+x） （4）（1-sinx）

（3）的正确解法：

（1+3x+x）=（1+3x+x）

=（1+3x+x）=e=e

错误解法（暂时认为是错误的）：

（1+3x+x）=（1+3x+x）

（4）的正确解法：

（1-sinx）=（1-sinx）

错误解法（暂时认为是错误的）：

（1-sinx）=（1-x）=（1-x）=e

对这两个例题，有以下问题需要解决.

第一：幂指函数的底函数或指函数为无穷小量时，是否可以做无穷小量的代换？

第二：（1+α（x））（1+α′（x）），α（x）~α′（x）（x ）

定理1：设α~α′，β~β′，当lim=B≠-时，mα+nβ~ma′+nβ′，其中，m，n均为非零实数.（上述等价无穷小和极限均是在同一极限趋向下的表达式.）

证明：lim=lim

由定理1可以看到：在（1）中，因为=1=-，所以此时不能分别采用等价无穷小的代换.而在（2）中，因为=≠-=1，所以当x0时，tan5x-sin2x―5x-2x，可以代换.即（2）的第二种做法是正确的，只是在做题过程中学生需要验证所做题目是否满足定理1的条件.同时，定理1还告诉我们和差运算中可以实行等价无穷小量代换的条件.

定理2：设α~α′，β~β′，且limα′=A存在，则有lima=limα′.（上述等价无穷小量和极限均是在同一极限趋向下的表达式.）

证明：limα=limα′•=limα′•lim

=lim（α′）•lim（）=A.

结论得证.

定理3：设α~α′且lim（1+α′）=A存在，则有lim（1+α）=lim（1+a′）.（上述等价无穷小量和极限均是在同一极限趋向下的表达式.）

证明：lim（1+α）=e=e

=e=e=A

定理2和定理3说明，在幂指函数求极限的过程中，底函数和指函数中的无穷小量均可以通过无穷小量的代换简化计算.因此，例（3）和（4）的第二种做法也是正确的.

应用举例:

==

=

实际上，因为=-1，如果不考虑定理1的条件是否满足就去代换，将会产生错误的计算结果:

===1.

（cosx）=［1+（cosx-1）］=（1-）=e.

参考文献：

［1］龚德恩.微积分［M］.四川人民出版社，2006.7.

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