“小题”要大做

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小题如图1，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.

1.从不同解法中得到启示

（1）连结CB，OC，则OCCD，

∠3+∠5=90°=∠5+∠6

=∠5+∠B，

知∠3=∠B.

而∠1+∠3=∠2+∠B.

所以∠1=∠2.

从而ACD～ABC，可产生以下结论：

①AC2=AD·AB，即为垂线AD、角平分线AC及圆的直径AB之间的关系.

若AD交O于F，则有

②DC2=DF·AD.

（2）连FB，如图2，易知FB∥DC，

FC=CB，∠3=∠4∠1=∠2，

所以，得

③∠3=∠1=∠2=12∠DAB.

（3）延长AB与DC交于P，如图3，形成一个完整的几何图形，即圆心在RtADP斜边上，O与一条直角边相切，与另一条直角边相交的优美图形.

2.根据几何图形位置、形状和大小的关系编制好的数学题目

问题1如图3，0的圆心在斜边AP上，且与DP切于C点，与AD交于F点，若BP=6，CP=62.

求：（1）BC的长及圆的直径；

（2）AD的长，DC的长；

（3）FB的长.

解（1）连AC，由CBP∽ACP，

得BPCP=CBAC.

由条件BPCP=662=12，

设CB=k，AC=2k，

则CB2+AC2=AB2，

即3k2=AB2.

注意到CP2=BP·AP，

得AP=CP2BP=12.

所以直径AB=AP—BP=12—6=6，

B为AP中点.

所以3k2=AB2=36，

k2=12，k=23，

所以BC=23.

（2）因为AC=2k，所以AC=26.

又AB=6，

所以AD=AC2AB=246=4.

在RtACD中，

DC=AC2—AD2=22.

（3）连FB，则BF∥DP.

而B为AP中点，所以F为AD中点，

从而FB=12DP=12（22+62）

=42.

评析这样一个“小题”目，经过探索、编制出问题1，由给出的简单条件BP=6，CP=62，将图形中所涉及的元素基本都找到了大小关系，这对于巩固知识是一个很好的训练.

问题2在问题1的基础上，以PD为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，可求：（1）直线AB所在的直线解析式；（2）过D、O、P三点的抛物线解析式.

解（1）由问题1，知A（0，4），P（—82，0），设AB的解析式是y=kx+b，

知k=24，b=4，

所以y=24x+4.

（2）求O点坐标：连OC，则由

OCAD=PCPD，有|OC|4=6282=34，

所以|OC|=3，|CD|=22.

所以D（0，0），O（—22，3），P（—82，0），

代入y=ax2+bx+c，可求得

y=—18x2—2x.

评析抓住几何图形殊位置关系，如垂直关系（包括过切点的直径与切线垂直）等进行综合性题目的编制，对于数学学习是一个开拓性的训练.