让我们亲手揭下自己的面具
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著名法国作家雨果曾经说过：“被人揭下面具是一种失败，自己揭下面具是一种胜利”。这也告诉我们在平时的作业与考试中要养成自我反思与改正的习惯。很多同学那种一听就懂、一看就会、一做就错的现状，究其原因是没能正确理解某些基本概念、公式、定理、法则以及一些数学思想方法还有不良的解题习惯等，因此我们需要从做错的题中深刻反思，从而改正我们的错误并不断的建立与完善自我防错机制。下面以平面向量和不等式的一些易错题为例，望同学们从中引起注意。
【例1】 已知正ABC的外接圆半径为33，设AB=a,BC=b,CA=c，则a•b+b•c+c•a= .
错解 由正弦定理得，a=2RsinA=2×33×sin60°=1,
所以a•b+b•c+c•a=|a||b|cos60°+|b||c|cos60°+|c||a|cos60°
=1×1×12+1×1×12+1×1×12=32.
错因分析 以上解答貌似很完美，实质对向量夹角的概念理解错了，向量的夹角必须要保证共起点，因为AB与BC不是共起点，所以其夹角不是角B而是角B的补角，a与b、b与c、c与a的夹角均为120°而不是60°。
正解 解法1：由正弦定理得，a=2RsinA=2×33×sin60°=1,
所以a•b+b•c+c•a=|a||b|cos120°+|b||c|cos120°+|c||a|cos120°
=1×1×－12+1×1×－12+1×1×－12=－32.
解法2：由正弦定理得，a=2RsinA=2×33×sin60°=1,
因为a+b+c=0，所以(a+b+c)2=0，所以a2+b2+c2+2a•b+2b•c+2c•a=0,
所以12+12+12+2a•b+2b•c+2c•a=0，所以a•b+b•c+c•a=－32.
防错机制 在运用平面向量的有关概念解题时一定要首先对题中的每一概念进行准确而全面的回忆并理解，然后才能运用概念解题，若对某概念认识比较模糊时就要尽量避开用此概念解题，以免出错。
【例2】 已知向量a、b都是非零向量，且向量a+3b与7a－5b垂直，向量a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
错解 由题设可得(a+3b)•(7a－5b)=0,(a－4b)•(7a－2b)=0,
即7a2+16a•b－15b2=0, ①7a2－30a•b+8b2=0, ②
①－②得46a•b=23b2,即2a•b=b2, ③
b≠0,a=12b,
设a与b的夹角为θ,
则cosθ=a•b|a||b|=12b212b2=1.
又0°≤θ≤180°,θ=0°
所以a与b的夹角为0°.
错因分析 此解错误原因是得到③式后，随后消去b，得到a=12b。这是错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上，对于非零实数b，若ab=bc，则a=c。而向量的数量积不满足消去律。由a•b=b•c不一定推出a=c。
正解 由题设可得(a+3b)•(7a－5b)=0,(a－4b)•(7a－2b)=0,
即7a2+16a•b－15b2=0, ①7a2－30a•b+8b2=0, ②
①－②得46a•b=23b2,即2a•b=b2,
将2a•b=b2代入①得:a2=b2，即|a|=|b|,
设a与b的夹角为θ,
则cosθ=a•b|a||b|=12b2b2=12.
又0°≤θ≤180°,θ=60°,
所以a与b的夹角为60°.
防错机制 在学习平面向量的有关运算法则时可以联想实数中的有关法则但要非常小心，因为向量是矢量，即既有大小又有方向的量，而实数是标量，即只有大小没有方向的量。所以在运用平面向量的有关法则解题时一定要确认此法则在平面向量中是否一定成立，只有经过确认一定成立的法则才能运用，不能想当然。
【例3】 已知在AOB中，O(0,0),A(mx2,－1),B(1,x)且m为正的常数,若∠AOB为锐角，求实数x的取值范围是 .
错解 设向量OA=a=(mx2,－1),OB=b=(1,x),∠AOB=θ，因为a•b=|a|•|b|cosθ，依题意知，a与b均不是零向量，且θ为锐角，所以a•b>0，所以mx2－x>0，即x(mx－1)>0.又m>0,所以xx>1m或x
错因分析 在已知条件下求变量的取值范围，实质是寻找充要条件。而错解中寻找的却是必要条件。两向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a•b>0且a与b不共线。
正解 设向量OA=a=(mx2,－1),OB=b=(1,x),∠AOB=θ，因为a•b=|a|•|b|cosθ，依题意知，a与b均不是零向量，且θ为锐角，所以a•b>0且a与b不共线，所以mx2－x>0且x≠－31m，又m>0,所以xx>1m或x
防错机制 在利用转化法解题时一定要注意等价转化，两向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a•b>0且a与b不共线。两向量a与b的夹角为钝角的充要条件是a•b
【例4】 已知两正数x,y满足x+y=1,则z=x+1xy+1y的最小值为 .
错解一 因为对a>0,恒有a+1a≥2,从而z=x+1xy+1y≥4,所以z的最小值是4.
错解二 z=2+x2y2－2xyxy=2xy+xy－2≥22xyxy－2=2(2－1)，所以z的最小值是2(2－1).
错因分析 错解一等号成立的条件是x=1x且y=1y,即x=1且y=1,与x+y=1相矛盾。错解二等号成立的条件是2xy=xy,即xy=2，与0
正解 z=x+1xy+1y=xy+1xy+yx+xy=xy+1xy+(x+y)2－2xyxy=2xy+xy－2，令t=xy,则0
防错机制 在利用基本不等式求最值时一定要注意三点：一是正确选用不等式（要完全满足该不等式的条件）；二是确定不等式一边是定值；三是验证不等式中的等号要成立。
【例5】 已知适合不等式x2－4x+p+x－3≤5的x的最大值为3，求p的值.
错解 对此不等式无法进行等价转化，不理解“x的最大值为3”的含义.
正解 因为x的最大值为3，故x－3≤0,原不等式等价于x2－4x+p－(x－3)≤5，
即－x－2≤x2－4x+p≤x+2，
则x2－5x+p－2≤0, ①x2－3x+p+2≥0， ②
设①②的根分别为x1、x2(x2>x1),x3、x4(x4>x3)，则x2=3或x4=3.
若x2=3，则9-15+p-2=0，p=8.
若x3=3，则9-9+p+2=0,p=-2.
当p=-2时，原方程组无解，则p=8.
防错机制 在解答涉及最值问题时，一定要学会将最值问题等价转化，如x的最大值为3，即转化为x≤3。
牛刀小试
1. 已知向量p=a|a|+b|b|，其中a,b均为非零向量，则|p|的取值范围是 .
2. 已知a=(1,2),b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
3. 函数y=a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny－1=0(mn>0)上，则1m+1n的最小值为 .
4. 是否存在常数c，使得不等式x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y对任意正数x,y恒成立？
【参考答案】
1. ［0,2］ a|a|,b|b|分别表示与a,b同向的单位向量,由a|a|－b|b|≤a|a|+b|b|≤a|a|+b|b|得，0≤|p|≤2.
2. 设a与a+λb的夹角为θ，则a•(a+λb)=|a|•a+λbcosθ，依题意知，a与a+λb均不是零向量，且θ为锐角，所以a•(a+λb)>0且a与a+λb不共线，
因为a•(a+λb)=1•(1+λ)+2•(2+λ)>0，所以λ>－53，又a与a+λb不共线，得λ≠0，
故所求的λ的范围是{λ|λ>－53且λ≠0}.
3. 4 函数y=a1－x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1)，1•m+1•n－1=0，m+n=1，m,n>0，所以1m+1n=1m+1n•(m+n)=2+nm+mn≥2+2nm•mn=4，当且仅当nm=mn,m+n=1,即m=n=12时等号成立.
4. 令x=y得23≤c≤23，故猜想c=23,
下证不等式x2x+y+yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立.
要证不等式x2x+y+yx+2y≤23，
因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2x+y）(x+2y),也即证3x2+12xy+3y2≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23使原不等式恒成立.
(作者:蒋行彪,江苏省淮阴中学)