运用“变异理论”引导学生全面理解圆柱和圆锥的关系

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针对“圆柱和圆锥”这一内容，通常的教学顺序是：首先通过图形的旋转引入表象的圆柱和圆锥，然后借助正方体、长方体的表面积和体积的计算公式，推导出圆柱的表面积和体积的计算公式，最后利用圆柱的体积是圆锥体积的3倍这一关系，推导出圆锥的体积公式。

从教学结果来看，有两点值得注意：一是学生对圆柱和圆锥的特征、圆柱和圆锥体积的计算方法以及圆柱表面积的计算方法掌握较好；二是学生对圆柱和圆锥体积之间的关系掌握并不理想（只记得等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的1/3；而当圆柱与圆锥等体等底或等体等高时往往学生不清楚“谁占谁的1/3”）。针对第二点，我一直在寻求可行的、有效的教学方法，力求突破难点，达到良好的教学效果。

在接触了“变异理论”之后，我尝试站在崭新的角度，重新进行教学设计。“变异理论”一直强调知识的关键属性，因此，针对学生困惑的关键点，我决定从倍、比、份三个角度全面、有序地讲解圆柱和圆锥的关系，并据此安排了“圆柱与圆锥”这一内容的专题训练课。

根据“变异理论”，教师需要通过展现不同维度的“变”，以呈现“不变”的关键属性，从而让学生全面、深刻地理解事物的关键属性，并将事物的关键属性融合到认知结构中，最终促进未来的学习和迁移。针对“圆柱和圆锥”这一内容，学生需要把握的关键点是：判断圆柱和圆锥的关系，必须同时考虑高、底面积（或底面半径）和体积这三个变量中的两个。为了帮助学生理解这一关键点，我设计了四个教学环节。

一、强化等底等高的圆柱和圆锥的体积关系

在第一个教学环节，我通过例题引导学生运用已学知识。然后，借助线段图，展示“份”“倍”和“比”三者的关系，以引导学生用不同的方式表述圆柱和圆锥的比例关系。

师：在等底等高时，你们能用线段图表示圆柱和圆锥的体积关系吗？（板书：等底等高）

师：观察线段图，在等底等高时，圆锥的体积对应的是几份？圆柱的体积对应的是几份？圆柱和圆锥的体积之和对应的是几份？圆柱和圆锥的体积之差对应的是几份？（板书：份）

生：在等底等高时，圆锥的体积对应的是1份；圆柱的体积对应的是3份；圆柱和圆锥的体积之和对应的是4份；圆柱和圆锥的体积之差对应的是2份。（如图1所示）

师：在等底等高时，你是否能从“倍”的角度，完整有序地表述圆柱和圆锥的体积关系？（板书：倍）

生：在等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的1/3，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；圆柱和圆锥的体积之和是圆锥体积的4倍，是圆柱体积的4/3；圆柱和圆锥的体积之差是圆锥体积的2倍，是圆柱体积的2/3。

师：在等底等高时，你是否能从“比”的角度，完整有序地表述圆柱和圆锥的体积关系？（板书：比）

生：在等底等高时，圆锥和圆柱的体积比是1：3；圆柱和圆锥的体积比是3：1；圆柱和圆锥的体积之和与圆锥体积的比是4：1，与圆柱体积的比是4：3；圆柱和圆锥的体积之差与圆锥体积的比是2：1，与圆柱体积的比是2：3。

二、逆向思考等体等底时，圆柱和圆锥的高的关系

在第二个教学环节，我通过一组精心设计的计算题，引出等体等底的条件下，圆锥的高是圆柱高的3倍的事实，然后通过用手指画、观察投影片、画线段图和语言表述等方法，使学生对圆柱与圆锥的高的关系有更加感性的认识。

师：我们学习数学，思维不仅要有序，更要可逆。这里有两道逆向应用圆柱和圆锥体积公式的题目，谁会解？

[展示例题：一个圆锥体积是36立方分米，底面积是9平方分米，它的高是（ ）分米；一个圆柱体积是36立方分米，底面积是9平方分米，它的高是（ ）分米。]

师：在等底等高时，圆柱和圆锥的体积关系，明明是圆柱大，圆锥小，可是从两道例题看，为什么圆锥高，圆柱矮呢？请比较这两道例题的已知条件和计算结果，你发现了什么？为什么会出现这样的结果？

生：在等体等底时，圆锥的高是圆柱高的3倍。

师：用手指在桌上画一画，这样的圆柱和圆锥摆在一起会是什么样子？谁能形容一下？（如图2所示）

接下来，与第一个环节一样，我借助线段图，展示“份”“倍”和“比”三者之间的关系，以引导学生用不同的方式表述圆柱和圆锥的高的关系。

三、自主思考等体等高时，圆柱和圆锥的底面积的关系

在第三个教学环节，学生运用前两个教学环节的学习过程和方法自主学习。我先提问，后总结。

师：我们已经研究了等底等高时，圆柱和圆锥的体积关系；等体等底时，圆柱和圆锥的高的关系；接下来，我们研究等体等高时，圆锥和圆柱的底面积关系。你会用线段图表示它们之间的关系吗？

师（总结）：通过观察线段，我们发现无论是等底等高还是等体等底、等体等高的圆柱与圆锥之间都是一份和三份的关系。所不同的是：等底等高时，圆柱的体积是3份，圆锥的体积是一份；体积相等，高和底只有一样不相等时，圆锥是3份，圆柱是一份。

四、运用圆柱和圆锥的关系解决问题

在第四个教学环节，我精心设计了一组练习题。

填空题：

一个圆柱和一个与它等底等高的圆锥的体积之和是24立方米，圆柱的体积是（ ）立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。

选择题：

有一个圆柱容器和几个圆锥容器（如图3所示），将圆柱内的水倒入（ ）圆锥内，正好倒满。

应用题：

给舞台设计一个背景（如图4所示），请你算一下这个背景的体积（单位：米；只列式，不计算）。有几种不同的算法？

上述练习题旨在培养学生灵活应用所学知识解决实际问题的能力。在设计练习题时，我试图创设一定的问题情境，使学生将刚刚学习的有关圆柱和圆锥的关键属性融合在一起，并观察学生在既定的问题情境中能否综合应用所学知识解决相关问题。

通过教学“圆柱和圆锥”这一内容，我对“变异理论”有了更深的理解。它是对迁移理论的继承和超越，它要求学生清晰地辨识概念与概念之间的区别，把学会的知识和解题技能正确地迁移并应用到各种不同的情境中。当学生对当前所学内容具备一定的知识基础后，教师应将当前所学内容与过往的教学内容相联系，或将当前所学内容应用到实际的生活情境中，让学生解决具有一定“思维挑战性”的综合问题。这样，既完善学生的知识结构，又增强学生学习知识的能力和解决问题的能力。

（作者单位：北京市海淀区育鹰小学）