用问题激活思维,让复习更有实效

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摘 要： 数学学习过程是一个复杂的思维过程。本文结合高三数学复习教学中的案例阐述如何让问题成为激活学生数学思维的载体，从而使复习更有实效。

关键词： 高三数学复习 问题 数学思维

数学家哈尔莫斯曾说：“问题是数学的心脏。”学起于思，思源于疑。数学学习过程是一个复杂的思维过程，数学教学是思维过程的教学，在复习中过于重视陈述性知识和题目的讲解，忽视程序性知识和学生的思维体验是制约复习质量提高的瓶颈。而以问题为起点，精心设计问题链，重视学生数学思维的培养，激活学生的数学思维，既能使学生理解与感悟数学，又有利于改变学生只愿做题，不善于思考、总结、变通的现象，从而培养学生数学思维品质。因此，为使高三数学复习更有实效，笔者认为“让问题成为激活学生数学思维的载体”是一种好方法，下面谈谈自己的体会，望同行不吝赐教。

1.运用一题多解、多变与多用，激活学生思维的灵活性

思维的灵活性是指能随机应变，触类旁通，不局限于某一方面，不受消极定势的束缚。在例题教学中，运用一题多解、一题多变、一题多用，可使学生思维始终趋于动的状态，有助于培养思维的灵活性，从而更好地提高解题效率。

例如在三角变换的复习中，笔者首先用下题与学生探讨一题多解：

（2008浙江高考第8题）若cosα+2sinα=-，则tanα=（）。

A.B.2C.-D.-2

思路1：由同角三角函数的基本关系式可得sinα＝-，cosα=-的值，再由商式求得tanα=2。这是一种常规思路的解法。

思路2：两边平方，得到齐次方程cosα+4sinαcosα+sinα=5(cosα+sinα)，再化为tanα的方程，从而求得tanα的值。

通过上述多种解法，学生思维始终处于一种“应该再从另一个角度来思考问题”的动的状态。在这些证法中，汇聚了大量信息，从而拓宽了思维的领域，有效地训练了学生思维的灵活性。

2.运用联想和推广，培养学生思维的独创性

在高三的例题教学中，有不少例题往往是某一问题的特例。教学时，教师要积极引导学生广泛联想，对这些特例作适当的引伸、推广，探索创造，寻找一般规律，以利于思维独创性品质的培养。

例如近几年的浙江高考向量题，仅能通过“数”的运算，而且可结合图形解决，通过构造恰当的图形，使问题能更准、快、活地得到解决，这就是形的方法。为了让学生掌握形的方法，笔者设计了一组题链，使学生由浅入深地学会通过题目中的条件构造符合的图形：

（1）若满足，且｜+｜=｜-｜，由此能联想到的图形是________。

（2）若满足（+）(-)且｜+｜=｜-｜，由此能联想到的图形是______ __。

前面的铺垫，让学生理解和感悟了寻找向量背后的图形的方法和技巧，激发了学生探究向量问题的强烈兴趣，并在相互讨论中运用形的方法，较快地解决了近5年的浙江高考向量题。

3.变换思考角度，培养学生思维的广阔性

在例题教学中，教师以原题作为思维的出发点，将条件或目标加以变换，通过分析条件的实质，以及条件之间的相互联系，让学生通过比较，产生思维上的认知冲突，可以培养学生思维的广阔性。

在放手让学生做题的过程中，学生会感悟到“题目会说话”，通过审题，熟悉题目并深入思考，就会找到解题的入口。学生处理由浅入深的不同角度问题，在认知冲突中思维会更广阔。

4.注重题后反思，培养学生思维的批判性

在实践中，许多学生不重视解题后的反思，对问题浅尝辄止，题做了不少，却收获甚微。针对这一情况，笔者借鉴了高考复习课中的案例：“直线l与抛物线y=2x相交于A、B两点，求证：‘如果直线l过点T(3,0)，那么•=3’是真命题。”让学生独立思考，自行完成。

解：设直线l的方程为y=k(x-3)，

由y=k(x-3)y=2x得ky-2y-6k=0，则yy=-6，

又由y=k(x-3)y=2x得kx-(6k+2)x+9k=0，则xx=9，

•=xx+yy=3，故命题得证。

在解决后反思，该解法有什么问题？学生归纳：

问题1：所设直线的方程不全面，遗漏了斜率不存在时直线l的方程为x=3，此时也满足题意；

问题2：在两次消元后得到的方程中运用韦达定理都没考虑条件k≠0，需说明；

问题3：字母x，x，y，y表示什么意义未提及，需设A(x，y)，B(x，y)。

继续反思，作何改进？

1.没必要两次消元，由x=y可得xx=(yy)；

2.设直线方程常对斜率存在或不存在进行讨论，题中l的方程可设x=my+3避免讨论；

再继续反思，能否自己编拟问题，如从命题的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断，或从问题的一般性出发等：

1.逆命题：设直线l交抛物线y=2x于A、B两点，若•=3，则直线l过点T(3,0)；

2.直线l交抛物线y=2px(p＞0)于A、B两点，若•=0，则AB弦过定点（2p，0），反之成立；

3.若抛物线C：y=2px(p＞0)的一条动弦过定点(x，0)，则•为定值x-2px。

这一组问题中，师生相互交流，一起弥补解题的漏洞和缺陷，这让学生有了很强的针对性和操作性。笔者还充分考虑到思维的渐进性，编拟题目，让学生在解题中提高，在联系中发展，在总结中提升。

参考文献：

［１］骆永明.圆锥曲线中定点与定向弦的探究.湖北：数学通讯，2005.9.

［２］刘绍周.高考需要数学理解和数学感悟.上海：上海中学数学，2005.12.

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